從不同方向觀察表格，你有什麼發現呢？

豎著看，多邊形邊上的釘子數越多，多邊形的面積越大；橫著看，4枚釘子對應2平方釐米，6枚釘子對應3平方釐米……即多邊形邊上釘子數除以2得到多邊形的面積。

我猜，多邊形邊上釘子數是n時，它是面積是

我們可以再圍幾個多邊形驗證下。

分別求除這些圖形的面積，數出邊上的釘子數如下：

前兩個圖形邊上釘子數除以2的數正是圖形的面積數，再結合之前的4個探究圖形（如下），會發現當邊內釘子數是1時，多邊形的面積可以由邊上釘子數除以2求得。

當邊內釘子數是2時，邊上釘子數與面積又有什麼關係呢？

像剛才那樣數一數、求一求，再看一看，想一想，尋找關係。

10枚對應6平方釐米；9枚對應5.5平方釐米；4枚對應3平方釐米，可以找到這樣的規律：

我們可以透過猜想並驗證得到，多邊形邊上釘子數是n時，它是面積是

當邊內釘子數是3時，邊上釘子數與面積又有什麼關係呢？

可以像剛才那樣先畫圖，再數一數釘子數，求出面積，尋找關係，然後猜想驗證。

我們可以在這幾組資料之間找到這樣的關係：

那麼透過猜想並驗證可以得到，當邊內釘子數是3時，邊上釘子數若為n，面積是：

整理下我們發現的結論

如果邊內沒有釘子，會怎樣呢？

我猜，多邊形邊上釘子數除以2再減1.

果然如此。看來，邊內沒有釘子數時，若邊上釘子數是你n，多邊形面積可以寫成：

現在，無論是邊內釘子有幾枚，我們都能根據邊上釘子數求得多邊形的面積了。 這叫“皮克定理”，是1899年，奧地利數學家皮克發現的。他將多邊形放到格點中研究，發現多邊形面積與多邊形上釘子數、邊內釘子數之間的規律，並進行了證明。這個規律被譽為史上“最重要的100個定理”之一。