可以證明啊，不過這個證明涉及到如何度量無限集合元素個數的問題，所以有時候結論比較反直覺。
證明思路在於計算有理數集的元素在實數集內部佔有的比例，如果比例低於一半，那麼無理數的元素個數要多於有理數（反之則要少），可以證明這個比例不僅遠低於一半，而且它的數值可以任意小（也就是等於零）。
為了簡單起見，我們取[0,1]區間來代替整個實數集，用同樣的方法可以將這個證明推廣到任意一個區間內，這樣就間接證明了這個結論。
首先注意到實數軸上的每一個點與實數集上的元素存在一一對應的關係，而且由於實數軸上的點分佈十分“均勻”，所以可以使用線段ab的長度來代替a到b之間實數數目的多少。那麼對於一區間[a,b]，如果有a<m<n<b，那麼就可以說線段長度的比值 就是區間[m,n]內實數個數在[a,b]區間內實數總個數的比例。
我們以任意一個有理數為線段的起點作線段，長度為 ，如果在[0,1]區間上的每個有理數都可以這樣取一個這樣的線段，使 組成一個無窮數列，那麼就可以求出一個 大於[0,1]之間有理數佔[0,1]間實數總數的比例。
要組成這麼一個數列，我們要首先證明對於任意一個有理數 都能夠找到唯一一個自然數 使得 成為數列的第 項。也就是說我們要證明自然數集與有理數集等勢。（簡單理解就是證明自然數集和有理數集含有同樣多的元素）注意到自然數集一定“不多於”有理數集，因此我們只需要證明自然數集“不少於”有理數集。
根據定義，任意一個有理數 都可以表示成 ，也就是說任意一個有理數都可以一一對應到一個有理數對 。這意味著又理數集元素的個數是不多於 ，這樣我們就只需證明 與 等勢即可。
我們首先建立這樣一張圖示：
它顯然包含了 上所有的點。假設 是這張圖示上的一個點，那麼它是表當中從上到下，從左到右第 個點。
也就是說對於任意一個 總能找到唯一一個有理數 與之對應，同時對於任意一個有理數 ，也總能找到唯一一個 與之對應。因此 與 等勢。
這樣，我們就可以取 ，那麼 （這裡這個取法只是為了好算，它實際上可以構造成任意一個正項的無窮級數）。這時我們對於 帶入不同的值就可以估算出有理數集的元素在實數集內部佔有的比例的上限，由於 的取值是任意的，所以這個比例的上限可以任意小，甚至等於0。
有理數數目少於無理數的數目。
證畢。
可以證明啊，不過這個證明涉及到如何度量無限集合元素個數的問題，所以有時候結論比較反直覺。
證明思路在於計算有理數集的元素在實數集內部佔有的比例，如果比例低於一半，那麼無理數的元素個數要多於有理數（反之則要少），可以證明這個比例不僅遠低於一半，而且它的數值可以任意小（也就是等於零）。
為了簡單起見，我們取[0,1]區間來代替整個實數集，用同樣的方法可以將這個證明推廣到任意一個區間內，這樣就間接證明了這個結論。
首先注意到實數軸上的每一個點與實數集上的元素存在一一對應的關係，而且由於實數軸上的點分佈十分“均勻”，所以可以使用線段ab的長度來代替a到b之間實數數目的多少。那麼對於一區間[a,b]，如果有a<m<n<b，那麼就可以說線段長度的比值 就是區間[m,n]內實數個數在[a,b]區間內實數總個數的比例。
我們以任意一個有理數為線段的起點作線段，長度為 ，如果在[0,1]區間上的每個有理數都可以這樣取一個這樣的線段，使 組成一個無窮數列，那麼就可以求出一個 大於[0,1]之間有理數佔[0,1]間實數總數的比例。
要組成這麼一個數列，我們要首先證明對於任意一個有理數 都能夠找到唯一一個自然數 使得 成為數列的第 項。也就是說我們要證明自然數集與有理數集等勢。（簡單理解就是證明自然數集和有理數集含有同樣多的元素）注意到自然數集一定“不多於”有理數集，因此我們只需要證明自然數集“不少於”有理數集。
根據定義，任意一個有理數 都可以表示成 ，也就是說任意一個有理數都可以一一對應到一個有理數對 。這意味著又理數集元素的個數是不多於 ，這樣我們就只需證明 與 等勢即可。
我們首先建立這樣一張圖示：
它顯然包含了 上所有的點。假設 是這張圖示上的一個點，那麼它是表當中從上到下，從左到右第 個點。
也就是說對於任意一個 總能找到唯一一個有理數 與之對應，同時對於任意一個有理數 ，也總能找到唯一一個 與之對應。因此 與 等勢。
這樣，我們就可以取 ，那麼 （這裡這個取法只是為了好算，它實際上可以構造成任意一個正項的無窮級數）。這時我們對於 帶入不同的值就可以估算出有理數集的元素在實數集內部佔有的比例的上限，由於 的取值是任意的，所以這個比例的上限可以任意小，甚至等於0。
有理數數目少於無理數的數目。
證畢。