我覺得非數學專業的人似乎沒有必要來了解這個axiom of choice
“給出一個由非空集合為元素的無窮集合S，你可以從每個元素集合裡拿出一個元素，構造一個新無窮集合”
注意這裡的要害在於：這個新集合的構造過程是不需要給出的，也就是說，你不需要指明如何從原來的集合裡挑選元素。
這個“公理”聽起來很合理，但細究起來有一些讓“某些數學家”（比如構造主義學派）不太舒適的地方：這條公理意味著你不需要真正去（透過特徵等）理解和挑選元素，依然可以宣稱該集合被創造出來了。
這個定理我記得最早好像是ZFC裡使用，用來試圖解決康托爾集合論悖論（這是一個更大的坑）。
跟這個axiom of choice有關的是一個非常非常著名且反直覺的定理：taski-banach定理。絕對讓人摔掉下巴！
“一個三維空間裡的單位實心球，可以被分割成有限塊（實際上最少只要5塊），將這些小塊僅僅透過旋轉和平移這兩種剛體運動（沒有拉伸！），就可以完整的重構出兩個和原先一模一樣的單位實心球！一個點都不少！”
這個定理的完整證明比較囉嗦，但關鍵步驟很簡單，用到抽象代數里的“二階自由群”，很容易證明球的兩種（比如分別沿x軸和y軸）旋轉（角度只要是π的無理數倍即可）可以構成一個二階自由群的兩個生成元。然後運用一個二階自由群的經典方法將之拆成兩個與原群“幾乎”一樣的集合。最後是一堆囉嗦的方法把上面“幾乎”倆字去掉。
注：這個定理我個人認為具有強烈的物理意義：空間和物質不可能（像實數軸一樣）是無限連續可分的，否則質量守恆等大批物理概念都不復存在。
tarski-banach定理的證明過程其實是需要依賴“選擇公理”的。實際上並未真正給出一個“明確的，可執行”的方法來指導你一步步如何切割單位球，而是證明了“這種切割是存在的”。這也是構造主義數學家對此公理有所詬病的地方。
我覺得非數學專業的人似乎沒有必要來了解這個axiom of choice
“給出一個由非空集合為元素的無窮集合S，你可以從每個元素集合裡拿出一個元素，構造一個新無窮集合”
注意這裡的要害在於：這個新集合的構造過程是不需要給出的，也就是說，你不需要指明如何從原來的集合裡挑選元素。
這個“公理”聽起來很合理，但細究起來有一些讓“某些數學家”（比如構造主義學派）不太舒適的地方：這條公理意味著你不需要真正去（透過特徵等）理解和挑選元素，依然可以宣稱該集合被創造出來了。
這個定理我記得最早好像是ZFC裡使用，用來試圖解決康托爾集合論悖論（這是一個更大的坑）。
跟這個axiom of choice有關的是一個非常非常著名且反直覺的定理：taski-banach定理。絕對讓人摔掉下巴！
“一個三維空間裡的單位實心球，可以被分割成有限塊（實際上最少只要5塊），將這些小塊僅僅透過旋轉和平移這兩種剛體運動（沒有拉伸！），就可以完整的重構出兩個和原先一模一樣的單位實心球！一個點都不少！”
這個定理的完整證明比較囉嗦，但關鍵步驟很簡單，用到抽象代數里的“二階自由群”，很容易證明球的兩種（比如分別沿x軸和y軸）旋轉（角度只要是π的無理數倍即可）可以構成一個二階自由群的兩個生成元。然後運用一個二階自由群的經典方法將之拆成兩個與原群“幾乎”一樣的集合。最後是一堆囉嗦的方法把上面“幾乎”倆字去掉。
注：這個定理我個人認為具有強烈的物理意義：空間和物質不可能（像實數軸一樣）是無限連續可分的，否則質量守恆等大批物理概念都不復存在。
tarski-banach定理的證明過程其實是需要依賴“選擇公理”的。實際上並未真正給出一個“明確的，可執行”的方法來指導你一步步如何切割單位球，而是證明了“這種切割是存在的”。這也是構造主義數學家對此公理有所詬病的地方。