平面幾何中涉及最值問題的相關定理或公理有：① 線段公理：兩點之間，線段最短. 並由此得到三角形三邊關係； ② 垂線段的性質：從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中,垂線段最短. 在一些“線段和最值”的問題中，透過翻折運動，把一些線段進行轉化即可應用 ①、② 的基本圖形，並求得最值，這類問題一般被稱之為“將軍飲馬”問題。
問題提出：
如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之後從山腳下的A點出發，走到河邊飲馬後再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？
模型提煉：
模型【1】一定直線、異側兩定點
直線l和l的異側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小
解答：根據“兩點之間，線段距離最短”，所以聯結AB交直線l於點P，點P即為所求點
模型【2】一定直線、同側兩定點
直線l和l的同側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小
解答：
第一步：畫點A關於直線l的對稱點A"（根據“翻折運動”的相關性質，點A、A"到對稱軸上任意點距離相等，如圖所示，AP=A"P，即把一定直線同側兩定點問題轉化為一定直線異側兩定點問題）
第二步：聯結A"B交直線l於點Q，根據“兩點之間，線段距離最短”，此時“A"Q+QB”最短即“AQ+QB”最短
模型【3】一定直線、一定點一動點
已知直線l和定點A，在直線k上找一點B（點A、B在直線l同側），在直線l上找點P，使得AP+PB最小。
第一步：畫點A關於直線l的對稱點A"第二步：過點A"做A"B⊥k於點B且交直線l於點P，根據“從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中,垂線段最短”，可知A"P+PB最小即AP+PB最小
問題升級：
問題：如圖，△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，試求作△DEF的最小值
解答：將點D視為定點，先作出△DEF的最小值對應的線段D’D’’，而後研究D’D’’隨著點D的位置變化過程中的最小值即可
無論點D位置在何處，點C對線段D’D’’的張角不變，即∠ D’CD’’的大小不變，為2∠ACB. 因而，為使得D’D’’最小，只需要CD’ = CD’’ = CD最小即可，顯然當CD⊥AB時，有垂線段最小，從而內接三角形△DEF的周長最小。
現在已經有CD⊥AB，接下來說明點E、點F也正好是△ABC的高線的垂足！如下圖：D’、D、D’’三點在以C為圓心的圓上，
弧D’D所對圓心角為∠D’CD，
所對圓周角為∠D’D’’D，
故有：(1/2)∠D’CD=∠D’D”D.
由翻折又有：(1/2)∠D’CD=∠ECD，
得∠D’D”D=∠ECD，
故C、E、D、D’’四點共圓；
另一方面：∠CDB+∠CD”B=180°，
故C、D、B、D’’四點共圓，綜上有：C、E、D、B、D’’ 五點共圓，從而∠CDB=∠CEB=90°
同理可證∠AFC=∠ADC=90°
從而得到一個重要結論：銳角三角形的所有內接三角形中，垂足三角形周長最小。
平面幾何中涉及最值問題的相關定理或公理有：① 線段公理：兩點之間，線段最短. 並由此得到三角形三邊關係； ② 垂線段的性質：從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中,垂線段最短. 在一些“線段和最值”的問題中，透過翻折運動，把一些線段進行轉化即可應用 ①、② 的基本圖形，並求得最值，這類問題一般被稱之為“將軍飲馬”問題。
問題提出：
如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之後從山腳下的A點出發，走到河邊飲馬後再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？
模型提煉：
模型【1】一定直線、異側兩定點
直線l和l的異側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小
解答：根據“兩點之間，線段距離最短”，所以聯結AB交直線l於點P，點P即為所求點
模型【2】一定直線、同側兩定點
直線l和l的同側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小
解答：
第一步：畫點A關於直線l的對稱點A"（根據“翻折運動”的相關性質，點A、A"到對稱軸上任意點距離相等，如圖所示，AP=A"P，即把一定直線同側兩定點問題轉化為一定直線異側兩定點問題）
第二步：聯結A"B交直線l於點Q，根據“兩點之間，線段距離最短”，此時“A"Q+QB”最短即“AQ+QB”最短
模型【3】一定直線、一定點一動點
已知直線l和定點A，在直線k上找一點B（點A、B在直線l同側），在直線l上找點P，使得AP+PB最小。
解答：
第一步：畫點A關於直線l的對稱點A"第二步：過點A"做A"B⊥k於點B且交直線l於點P，根據“從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中,垂線段最短”，可知A"P+PB最小即AP+PB最小
問題升級：
問題：如圖，△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，試求作△DEF的最小值
解答：將點D視為定點，先作出△DEF的最小值對應的線段D’D’’，而後研究D’D’’隨著點D的位置變化過程中的最小值即可
無論點D位置在何處，點C對線段D’D’’的張角不變，即∠ D’CD’’的大小不變，為2∠ACB. 因而，為使得D’D’’最小，只需要CD’ = CD’’ = CD最小即可，顯然當CD⊥AB時，有垂線段最小，從而內接三角形△DEF的周長最小。
現在已經有CD⊥AB，接下來說明點E、點F也正好是△ABC的高線的垂足！如下圖：D’、D、D’’三點在以C為圓心的圓上，
弧D’D所對圓心角為∠D’CD，
所對圓周角為∠D’D’’D，
故有：(1/2)∠D’CD=∠D’D”D.
由翻折又有：(1/2)∠D’CD=∠ECD，
得∠D’D”D=∠ECD，
故C、E、D、D’’四點共圓；
另一方面：∠CDB+∠CD”B=180°，
故C、D、B、D’’四點共圓，綜上有：C、E、D、B、D’’ 五點共圓，從而∠CDB=∠CEB=90°
同理可證∠AFC=∠ADC=90°
從而得到一個重要結論：銳角三角形的所有內接三角形中，垂足三角形周長最小。