f(x)=x²+ax+b,則導函式f"(x)=2x+a,(1)點(t,f(t))處切線斜率為f"(t)=2t+a,設此點處切線方程為y=(2t+a)x+c,將點(t,f(t))座標代入，得：f(t)=(2t+a)t+c,c=t²+at+b-2t²-at=b-t²所以點(t,f(t))處的切線方程為y=(2t+a)x+b-t²。(2)過點(1,0)可引兩條切線，說明此點位於二次函式外側區域。設過點(1,0)且與函式相切的切線l的方程為y=px+m，將點(1,0)代入得l得：m=-p。所以切線l方程為y=px-p。切線l與二次函式在區間(-無窮,1]存在唯一交點(切點)，所以有：x²+ax+b=px-p有唯一解（切點），且切點處的斜率為p。則方程x²+(a-p)x+(b+p)=0有唯一解，判別式＝0，即(a-p)²-4(b+p)＝0。方程的解為x=(p-a)/2<1。即為切點的橫座標。（p<a+2）切點的縱座標為：(p-a)²/4+a(p-a)/2+b。切點處的切線方程為：y=px+b-(p-a)²/4，同理，在區間[1,+無窮)，切線l與二次函式也存在唯一交點(切點)，所以可得切點橫座標為x=(p-a)/2>1。（p>a+2）切點的縱座標為：(p-a)²/4+a(p-a)/2+b。切點處的切線方程為：y=px+b-(p-a)²/4，切點（(p-a)/2，(p-a)²/4+a(p-a)/2+b）也位於切線l上，所以有：p(p-a)/2-p=(p-a)²/4+a(p-a)/2+b化簡後解得p=a+2±2√(a+b+1)。p的兩種取值，就代表過點(1,0)且與二次函式相切的兩條不同切線的斜率。若a+b+1>0即a+b>-1時，存在兩條切線，其中p<a+2時為左側切線的斜率，p>a+2時為右側切線的斜率。若a+b+1=0即a+b=-1，則只有一條切線。以上結論已經過幾何畫板完美驗證。附件為幾何畫板中的演示，拖動A、B點可改變a、b的取值。