上限為a(x),下限為b(x)y=(a(x),b(x))∫f(t)dt已知f(x)原函式是F(x),F"(x)=f(x)（觀察y=(a,b)∫f(t)dt=F(a)-F(b),括號裡跟著代入就行了）所以y=(a(x),b(x))∫f(t)dt=F[a(x)]-F[b(x)]兩邊求導y"=(F[a(x)])"-(F[b(x)])"=F"[a(x)]a"(x)-F"[b(x)]b"(x)

擴充套件資料：

如果上限x在區間[a,b]上任意變動，則對於每一個取定的x值，定積分有一個對應值，所以它在[a,b]上定義了一個函式，這就是積分變限函式。

積分變限函式是一類重要的函式，它最著名的應用是在牛頓一萊布尼茲公式的證明中．事實上，積分變限函式是產生新函式的重要工具，尤其是它能表示非初等函式，同時能將積分學問題轉化為微分學問題。積分變限函式除了能拓展我們對函式概念的理解外，在許多場合都有重要的應用。

連續性

【定理一】若函式f(x)在區間[a,b]上可積，則積分變上限函式在[a,b]上連續。

導數定理

【定理二】如果函式f(x)在區間[a，b]上連續，則積分變上限函式在[a,b]上具有導數，並且導數為：

如果函式f(x)在區間[a，b]上連續，X0為[a，b]內任一點，則變動上積限積分滿足：

注：

（1）區間a可為-∞，b可為+∞；

（2）此定理是變限積分的最重要的性質，掌握此定理需要注意兩點：第一，下限為常數，上限為參變數x（不是含x的其他表示式）；第二，被積函式f(x)中只含積分變數t，不含參變數x。

原函式存在定理

若函式f(x)在區間[a,b]上連續，則積分變上限函式就是f(x)在[a,b]上的一個原函式。