嚴嵩為嘉靖年間的內閣首輔，善權謀，為人心狠手辣，陰險狡詐，貪得無厭，是個典型的奸臣。

徐階與嚴嵩同朝為官時，開始為內閣成員之一，大學士。嚴嵩被扳倒後，徐階擔任內閣首輔，徐階屬清流派的領袖人物。

張居正是後來萬曆(嘉靖皇帝的孫子)的帝師，首輔。張居正為嘉靖朝時的進士，按古代的約俗成規，張居正應屬於嚴嵩的學生，徐階的門生。在嘉靖擔任首輔時，張居正還是個芝麻官，加上張居正屬於徐階清流骨幹之一，所以嚴嵩並不待見張居正。

嘉靖皇帝是個道士皇帝，追求問道成仙。經常要與玉皇大帝等人書信來往，這個書信稱為"青詞"。嚴嵩會寫，其兒子嚴世蕃更會寫，嘉靖與玉皇大帝的書信大都由嚴嵩父子捉刀代筆，因此這父子倆得以青雲直上，一手遮天。

徐階為博嘉靖歡心，也憋著勁學寫青詞，無奈只是二流水平，嘉靖採用的不多。徐階便與嚴嵩結親，將寶貝小孫女嫁給其孫子為小妾。後來嚴世蕃被處死，徐階授意其子將小孫女毒死，在徐階眼裡，為了政治，可以犧牲親情。在很長時間，徐階夾著尾巴做人，從表面上看，徐階與嚴嵩有較長時間的合作愉快。

但徐階與嚴嵩畢竟不屬於一個陣營，相互間又互為官場對手。互相看不順眼。嘉靖老狐狸，讓嚴嵩與徐階在內閣互相制衡、制約。徐階在政治手腕上略勝一籌，最終扳倒了嚴嵩，成為首輔。

徐階善於發現人才，也愛護人才。他知道伴君如伴虎，自己不可能長久為首輔，便培養門生、培養接班人。高拱、張居正等都是他發現和培養的，事實證明徐階發現並培養的人，確實是人才。徐階確有過人之處。

嚴嵩害死了夏言，而夏言算徐階的恩師吧，此後徐階忍辱負重，終於取得嘉靖信任除掉了嚴嵩，而張居正是徐階鬥嚴嵩時提拔起來的。此後鬥倒了高拱

歷史上，明朝的朝廷官員設定有首輔和次輔之職，相當於丞相的職務，掌管朝中大小事務。當然首輔比次輔地位更高些，生在朝中，都想往上爬，有更高的位置。所以首輔和次輔一般不合。正如此，當時朝中首輔嚴嵩，而他的對手，真是擔任次輔的徐階。那個時候，朝堂分成了嚴嵩派、徐階派，中間派的人很少。嚴嵩和徐階的爭鬥非常慘烈。

而徐階是張居正的老師。當時，朝中，嚴嵩作為首輔，當時可以說是位高權重，想要跟隨他的人非常多。張居那時只是一個七品小官，為了得到提拔，張居正私下了很多文字來讚美嚴嵩父子兩個，積極去討好嚴嵩，讓嚴嵩認為張居正是個非常光明磊落的人，而且具有大才。

後來，徐階想要提拔張居正的時候，也獲得了嚴嵩的讚許。就這樣，在嚴嵩和徐階兩人一直在爭鬥中，張居正左右逢源，兩方討好，慢慢的地位一步步上升。

最後，張居正也從七品小官，擔任次輔、首輔之職。可謂一人之下，萬人之上。張居正韜光養晦的心性非常讓人佩服的，這種暗搓搓的兩面討好，可以使之立於不敗之地，因為最後不管是誰獲得勝利，他都是既得利益者。不得不說，張居正的政治頭腦，非常厲害。

都是嘉靖隆慶萬曆朝的內閣首輔，夏言幹掉了楊廷和 ，嚴嵩幹掉了夏言，徐華亭幹掉了嚴嵩，高拱幹掉了徐華亭，張居正一樣是幹掉了高拱。什麼關係？死對頭關係，不幹掉前面的怎麼當首輔

三個人都曾是明朝內閣首輔，嚴嵩貪，徐階和張居正也不乾淨。三個人權利都有著極大的慾望。唯一不同的是，嚴嵩只貪錢財不辦正事，而徐階和張居正，既貪錢，同時也辦實事。

徐階，嚴嵩，張居正都是明朝內閣首輔，任職順序為嚴嵩、徐階（嘉靖朝），張居正（隆慶朝），三個人都很有才學，但嚴嵩和嚴世蕃父子倆狼狽為奸，把持朝政，剷除異己，生活奢靡腐爛，相傳嚴世蕃個大小便不用馬桶，用侍婢的口，嚴嵩庚戌之變命軍隊不得出城，任由韃靼軍在城外搶掠（其實也打不過），隱瞞嘉靖皇帝，後來被徐階搞下馬，嚴世蕃被殺，嚴嵩乞食回鄉。

徐階接任內閣首輔，算是比較忠心的大臣，也很有能力，隆慶帝登基後，他的老師高拱權勢也大了，高拱為人恃才高傲，皇帝也信任他，高拱代替了徐階為內閣首輔。

在這之前張居正已經嶄露頭角，而且左右逢源，起先是徐階看中提拔他，徐階可以說是他的老師，對張居正產生了很大影響；張居正還替嚴嵩寫過文章，嚴嵩也賞識他；他還和高拱是好朋友，經常一起遊山玩水，談政治抱負，是高拱少數幾個能看的起的人之一（隆慶帝繼位前徐階也看到高拱的優勢，讓張居正接近高拱）。在政治鬥爭中，張居正受到了徐階的保護，在與嚴嵩鬥爭中沒讓張居正出過頭，張居正也認識到嚴嵩的真面目（嚴嵩曾反對過劉瑾，張居正因此敬重過他），政治鬥爭經驗也變得豐富。在恩師徐階和好友高拱間，他選擇了徐階，站在了高拱的對立面，張居正終於還是把高拱扳倒了，成為了明朝最偉大的首輔，但他死後家人卻很淒涼。

看了幾個回答，感覺文不對題，我來說說，三個人之間的關聯如下：

一是都是一個時代的人，三個人曾同朝為官，嘉靖朝。

二是三個人先後都做了首輔。

三是嚴和徐是政敵，首輔和次輔，徐設計搞掉了嚴。徐是張的座師，即主考官，關係很好，後來徐致仕後，張很照顧徐。