曼流形上的幾何學。德國數學家G.F.B.黎曼19世紀中期提出的幾何學理論。1854年黎曼在格丁根大學發表的題為《論作為幾何學基礎的假設》的就職演說，通常被認為是黎曼幾何學的源頭。在這篇演說中，黎曼將曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體。他首先發展了空間的概念，提出了幾何學研究的物件應是一種多重廣義量 ，空間中的點可用n個實數（x1，……，xn）作為座標來描述。這是現代n維微分流形的原始形式，為用抽象空間描述自然現象奠定了基礎。這種空間上的幾何學應基於無限鄰近兩點（x1，x2，……xn）與（x1＋dx1，……xn＋dxn）之間的距離，用微分弧長度平方所確定的正定二次型理解度量。（gij）是由函式構成的正定對稱矩陣。這便是黎曼度量。賦予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。黎曼認識到度量只是加到流形上的一種結構，並且在同一流形上可以有許多不同的度量。黎曼以前的數學家僅知道三維歐幾里得空間E3中的曲面S上存在誘導度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而並未認識到S還可以有獨立於三維歐幾里得幾何賦予的度量結構。黎曼意識到區分誘導度量和獨立的黎曼度量的重要性，從而擺脫了經典微分幾何曲面論中侷限於誘導度量的束縛，創立了黎曼幾何學，為近代數學和物理學的發展作出了傑出貢獻。黎曼幾何中的一個基本問題是微分形式的等價性問題。該問題大約在1869年前後由E.B.克里斯托費爾和R.李普希茨等人解決。前者的解包含了以他的姓命名的兩類克里斯托費爾記號和協變微分概念。在此基礎上G.裡奇發展了張量分析方法，這在廣義相對論中起了基本數學工具的作用。他們進一步發展了黎曼幾何學。但在黎曼所處的時代，李群以及拓撲學還沒有發展起來，因此黎曼幾何只限於小範圍的理論。大約在1925年H.霍普夫才開始對黎曼空間的微分結構與拓撲結構的關係進行了研究。隨著微分流形精確概念的確立，特別是E.嘉當在20世紀20年代開創並發展了外微分形式與活動標架法，建立了李群與黎曼幾何之間的聯絡，從而為黎曼幾何的發展奠定重要基礎，並開闢了廣闊的園地，影響極其深遠。並由此發展了線性聯絡及纖維叢的研究。1915年，A.愛因斯坦運用黎曼幾何和張量分析工具創立了新的引力理論——廣義相對論。使黎曼幾何（嚴格地說洛倫茨幾何）及其運算方法（裡奇演算法）成為廣義相對論研究的有效數學工具。而相對論近年的發展則受到整體微分幾何的強烈影響。例如向量叢和聯絡論構成規範場（楊-米爾斯場）的數學基礎。1944年陳省身給出n維黎曼流形高斯-博內公式的內蘊證明，以及他關於埃爾米特流形的示性類的研究，引進了後來通稱的陳示性類，為大範圍微分幾何提供了不可缺少的工具併為複流形的微分幾何與拓撲研究開創了先河。半個多世紀，黎曼幾何的研究從局部發展到整體，產生了許多深刻的結果。黎曼幾何與偏微分方程、多複變函式論、代數拓撲學等學科互相滲透，相互影響，在現代數學和理論物理學中有重大作用。
曼流形上的幾何學。德國數學家G.F.B.黎曼19世紀中期提出的幾何學理論。1854年黎曼在格丁根大學發表的題為《論作為幾何學基礎的假設》的就職演說，通常被認為是黎曼幾何學的源頭。在這篇演說中，黎曼將曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體。他首先發展了空間的概念，提出了幾何學研究的物件應是一種多重廣義量 ，空間中的點可用n個實數（x1，……，xn）作為座標來描述。這是現代n維微分流形的原始形式，為用抽象空間描述自然現象奠定了基礎。這種空間上的幾何學應基於無限鄰近兩點（x1，x2，……xn）與（x1＋dx1，……xn＋dxn）之間的距離，用微分弧長度平方所確定的正定二次型理解度量。（gij）是由函式構成的正定對稱矩陣。這便是黎曼度量。賦予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。黎曼認識到度量只是加到流形上的一種結構，並且在同一流形上可以有許多不同的度量。黎曼以前的數學家僅知道三維歐幾里得空間E3中的曲面S上存在誘導度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而並未認識到S還可以有獨立於三維歐幾里得幾何賦予的度量結構。黎曼意識到區分誘導度量和獨立的黎曼度量的重要性，從而擺脫了經典微分幾何曲面論中侷限於誘導度量的束縛，創立了黎曼幾何學，為近代數學和物理學的發展作出了傑出貢獻。黎曼幾何中的一個基本問題是微分形式的等價性問題。該問題大約在1869年前後由E.B.克里斯托費爾和R.李普希茨等人解決。前者的解包含了以他的姓命名的兩類克里斯托費爾記號和協變微分概念。在此基礎上G.裡奇發展了張量分析方法，這在廣義相對論中起了基本數學工具的作用。他們進一步發展了黎曼幾何學。但在黎曼所處的時代，李群以及拓撲學還沒有發展起來，因此黎曼幾何只限於小範圍的理論。大約在1925年H.霍普夫才開始對黎曼空間的微分結構與拓撲結構的關係進行了研究。隨著微分流形精確概念的確立，特別是E.嘉當在20世紀20年代開創並發展了外微分形式與活動標架法，建立了李群與黎曼幾何之間的聯絡，從而為黎曼幾何的發展奠定重要基礎，並開闢了廣闊的園地，影響極其深遠。並由此發展了線性聯絡及纖維叢的研究。1915年，A.愛因斯坦運用黎曼幾何和張量分析工具創立了新的引力理論——廣義相對論。使黎曼幾何（嚴格地說洛倫茨幾何）及其運算方法（裡奇演算法）成為廣義相對論研究的有效數學工具。而相對論近年的發展則受到整體微分幾何的強烈影響。例如向量叢和聯絡論構成規範場（楊-米爾斯場）的數學基礎。1944年陳省身給出n維黎曼流形高斯-博內公式的內蘊證明，以及他關於埃爾米特流形的示性類的研究，引進了後來通稱的陳示性類，為大範圍微分幾何提供了不可缺少的工具併為複流形的微分幾何與拓撲研究開創了先河。半個多世紀，黎曼幾何的研究從局部發展到整體，產生了許多深刻的結果。黎曼幾何與偏微分方程、多複變函式論、代數拓撲學等學科互相滲透，相互影響，在現代數學和理論物理學中有重大作用。