謝邀我這裡來說一類僅用高中數列知識就能理解的線性遞推關係通項的求解方法，更一般的、深入的討論可參見 @靈劍 的回答。對於線性遞推關係其中已知，想法是構造等比數列，從而求得通項。引入待定引數,可將上式寫成.可見是以為首項，為公比的等比數列，因此同樣的，也可以寫成.類似可得當時，聯立式 (1)(2)，消去可得故那麼現在的問題就是是什麼，由於即是對比可知因此由韋達定理可知，是方程的兩個根，至此就可以透過解方程求出。我們把稱為線性遞推關係的特徵方程，它是將中的分別用替換得到的。然而，現在這個問題還沒有得到徹底解決，上述給出的通項的表示式是在特徵方程有兩個不相等的根時得到的，那麼如果特徵方程有兩個相等的根時，的通項應該如何求解呢？當特徵方程有兩個相等的根時，也即是這時就變成了,現在透過構造等差數列來求解這一遞推式。將兩邊同時除以可得這說明是以為首項，為公差的等差數列，因此即至此，線性遞推關係通項的問題就得到了徹底的解決。下面以經典的 Fibonacci 數列為例求解一下。特徵方程為易求得兩個不相等的根利用公式易知代入上式即得需要說明的是，上述兩種通項的表示式沒必要死記，知道利用特徵方程推導的過程也能很快求出結果，即便特徵方程也忘記了，只要知道構造等比數列的思想同樣可以得出結果。嗯，就醬\(^o^)/~