設擺長為l,擺線與豎直方向的夾角為θ,那麼單擺的運動公式為： d²；θ/dt²+g/l*sinθ=0 令ω=dθ/dt,上式改寫成： ωdω/dθ+g/l*sinθ=0 ω²=2g/l*cosθ+c 給定初始條件θ=α（0≤α≤π）,ω=0,則其特解為： ω²=2g/l*(cosθ-cosα）=4g/l*(sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）) 所以t=∫dθ/ω=1/2*√（g/l)*∫[0,θ]dθ/√（sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）) 做變換sin（θ/2）=sin（α/2）sinφ,則 t=√（l/g)*∫[0,φ]dφ/√（1-sin²；（α/2）*sin²；φ）=√（l/g)*F（φ,sin（α/2）) 以上是單擺從任意位置擺動任意角的公式,當單擺從任意位置開始擺動到豎直位置時,θ=α,此時φ=π/2 那麼T=4t=4√（l/g)*F（π/2,sin（α/2）)=4√（l/g)*K(sin（α/2））,此處的α就是常說的擺角,現在看一下不同的擺角對週期的影響 單擺的近似公式為T=2π√（l/g）,精確公式為T=4√（l/g)*K(sin（α/2））,記相對誤差為e（α） 那麼e（α）=（2K(sin（α/2）)-π)/（2K(sin（α/2）)用Maple計算得到： 當10度內,e= sine=l/g e（1）=0.0019% e（2）=0.0076% e（3）=0.0171% e（4）=0.0305% e（5）=0.0476% e（6）=0.0685% e（7）=0.0933% e（8）=0.1218% e（9）=0.1542% e（10）=0.1903% e（11）=0.2303% e（12）=0.2741% e（13）=0.3217% e（14）=0.3730% e（15）=0.4282% e（16）=0.4872% e（17）=0.5500% e（18）=0.6165% e（19）=0.6869% e（20）=0.7611% 實驗室一般取α≤5,所以相對誤差不超過0.05%,總的來說精度還是比較高的.
設擺長為l,擺線與豎直方向的夾角為θ,那麼單擺的運動公式為： d²；θ/dt²+g/l*sinθ=0 令ω=dθ/dt,上式改寫成： ωdω/dθ+g/l*sinθ=0 ω²=2g/l*cosθ+c 給定初始條件θ=α（0≤α≤π）,ω=0,則其特解為： ω²=2g/l*(cosθ-cosα）=4g/l*(sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）) 所以t=∫dθ/ω=1/2*√（g/l)*∫[0,θ]dθ/√（sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）) 做變換sin（θ/2）=sin（α/2）sinφ,則 t=√（l/g)*∫[0,φ]dφ/√（1-sin²；（α/2）*sin²；φ）=√（l/g)*F（φ,sin（α/2）) 以上是單擺從任意位置擺動任意角的公式,當單擺從任意位置開始擺動到豎直位置時,θ=α,此時φ=π/2 那麼T=4t=4√（l/g)*F（π/2,sin（α/2）)=4√（l/g)*K(sin（α/2））,此處的α就是常說的擺角,現在看一下不同的擺角對週期的影響 單擺的近似公式為T=2π√（l/g）,精確公式為T=4√（l/g)*K(sin（α/2））,記相對誤差為e（α） 那麼e（α）=（2K(sin（α/2）)-π)/（2K(sin（α/2）)用Maple計算得到： 當10度內,e= sine=l/g e（1）=0.0019% e（2）=0.0076% e（3）=0.0171% e（4）=0.0305% e（5）=0.0476% e（6）=0.0685% e（7）=0.0933% e（8）=0.1218% e（9）=0.1542% e（10）=0.1903% e（11）=0.2303% e（12）=0.2741% e（13）=0.3217% e（14）=0.3730% e（15）=0.4282% e（16）=0.4872% e（17）=0.5500% e（18）=0.6165% e（19）=0.6869% e（20）=0.7611% 實驗室一般取α≤5,所以相對誤差不超過0.05%,總的來說精度還是比較高的.