用數學語言表達如下：

1. 由已知得

270-15≡186-16≡0 (mod n)

即255≡170≡0 (mod n)

3×5×17≡2×5×17≡0 (mod n)

故n是255和170的公約數，可能是17或85

2.999+2×999+3×999+……+999x999

=999×(1+2+...+999)

=999×999×500

根據同餘的可乘性知

若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那麼ac≡bd（mod m）

999≡11 (mod 13)

500≡6 (mod 13)

故999×999×500≡11×11×6=11×66=11×1=11(mod 13)

餘數是11

3. 設這個自然數為n，則

168-5≡518-7≡666-10≡a (mod n)

163≡511≡656≡a (mod n)

故511-163≡656-163≡656-511≡0 (mod n)

即348≡493≡145≡0 (mod n)

12×29≡17×29≡5×29≡0 (mod n)

故n是348，493，145的公約數，n=29

4. 2005-3≡1783-2≡0 (mod n)

即2002≡1781≡0 (mod n)

13×154≡13×137≡0 (mod n) ,(154，137)=1 ），（記號（154，137）表示154與137的最大公約數）

故n是2002，1781的公約數，n=13

5. 因為365≡1 (mod 7)

所以由同餘的可乘性，若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那麼ac≡bd（mod m）知

365^365≡1^365 ≡1(mod 7)

是星期六

6. 因為203≡5(mod 6)

所以由同餘的可乘性知

203×203×203×203×……×203≡5×5×...×5≡5×25×25×...×25≡5×1×1×...×1≡5 (mod 6)

最後餘下5顆