把調和級數看成一個數列,數列通項是調和級數前n項和

數列收斂的充要條件是:柯西判別法(什麼名字記不清楚了)

對於調和級數的這個數列,滿足

ε>0 ,存在n>0,m>n,有 1/n + 1/(n+1)+ ……+1/m

就叫做滿足柯西判別法

現在 存在ε=0.1,n>0

對於這個任意取得n,存在m=2n

使得1/n + 1/(n+1)+ ……+1/m=1/n + 1/(n+1)+ ……+1/2n>(1/2n)*(n+1)>(1/2n)*n=0.5 > ε

所以不滿足柯西判別法

所以調和級數不收斂

對於別的級數,比如1+ 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 +……+ 1/n^2

ε>0 存在n=(1/ε)+1 m>n

有1/n^2 + 1/(n+1)^2+ ……+1/m^2

=1/(n-1)- 1/n + 1/n -1/(n+1)+……+1/(m-1) - 1/m

=1/(n-1)-1/m

滿足柯西判別法,所以這個級數收斂

你肯定學過級數的P判別法吧：

級數∑_(n=1)^(+∞)?/n^p 分母上n的次數p，1是一個臨界值，次數大於1的都收斂，小於等於1的就發散

要是還不清楚,隨便找本數學分析的數看看就明白了