事實上，要按順序取三項的話，公比是除了外的有理數也是不可能的。不妨設公比，其中p和q互質。只需證明不存在n>m使得即可。方法挺顯然的，兩邊同時乘即得到，如果的話左邊不是整數，矛盾。時問題還原到了公比是整數的情形。正整數已經討論過了，x是負整數時問題等價於是否存在某個正整數x滿足（正負號任取）。但是和之前一樣，只需模即可知道除了-1外無解。從本質上來講，這個方程不存在其它有理數解的原因是是的field of fractions，同時是UFD，於是在上不可約保證了它在上也不可約(Gauss"s lemma (polynomial))；然後只需注意到由於f的最高次項係數是1，任何在上的分解都會直接給出一個整數根。---更新---樓上更新了答案，那y=a^x當a是正整數時也可以透過拉伸得到和直線有三個交點，為什麼卻能證明在這種情況下是不可能的呢。主要問題在於這個問題是個離散的問題，用一個連續的model很難解決。拉伸得到的三個交點不止需要共線，而且還需要能對應到數列中的整數項才行；這導致了公比為正整數時無解。其實顯而易見首項對這個問題的答案沒有任何影響，而容易知道這個問題有解的充要條件是公比a是某個x^n-2x^m+1=0的根(n>m都是正整數)，而這個方程沒有除1以外的正整數解。---是否和某直線有三個交點和是否存在三項成等差數列沒什麼關係。照這麼說，數列也不存在三項成等差數列，因為y=x^2和任何直線都沒有三個交點？（1,25,49)事實上構造反例很容易，考慮任何等比數列1,a,a^2,a^3,...隨便取三項，比如，然後解即可，有個解是。於是1,a^2,a^3成等差數列。如果要求公比是正整數的話這個命題才成立，原因也很簡單：對任意（i<j<k)，考慮模即得需要，當時顯然不可能。為什麼說要是正整數呢，因為不然就能給出成噸的反例。當然，要是題主說的是相鄰三項，那顯然是不可能的，因為只有1這個根。
事實上，要按順序取三項的話，公比是除了外的有理數也是不可能的。不妨設公比，其中p和q互質。只需證明不存在n>m使得即可。方法挺顯然的，兩邊同時乘即得到，如果的話左邊不是整數，矛盾。時問題還原到了公比是整數的情形。正整數已經討論過了，x是負整數時問題等價於是否存在某個正整數x滿足（正負號任取）。但是和之前一樣，只需模即可知道除了-1外無解。從本質上來講，這個方程不存在其它有理數解的原因是是的field of fractions，同時是UFD，於是在上不可約保證了它在上也不可約(Gauss"s lemma (polynomial))；然後只需注意到由於f的最高次項係數是1，任何在上的分解都會直接給出一個整數根。---更新---樓上更新了答案，那y=a^x當a是正整數時也可以透過拉伸得到和直線有三個交點，為什麼卻能證明在這種情況下是不可能的呢。主要問題在於這個問題是個離散的問題，用一個連續的model很難解決。拉伸得到的三個交點不止需要共線，而且還需要能對應到數列中的整數項才行；這導致了公比為正整數時無解。其實顯而易見首項對這個問題的答案沒有任何影響，而容易知道這個問題有解的充要條件是公比a是某個x^n-2x^m+1=0的根(n>m都是正整數)，而這個方程沒有除1以外的正整數解。---是否和某直線有三個交點和是否存在三項成等差數列沒什麼關係。照這麼說，數列也不存在三項成等差數列，因為y=x^2和任何直線都沒有三個交點？（1,25,49)事實上構造反例很容易，考慮任何等比數列1,a,a^2,a^3,...隨便取三項，比如，然後解即可，有個解是。於是1,a^2,a^3成等差數列。如果要求公比是正整數的話這個命題才成立，原因也很簡單：對任意（i<j<k)，考慮模即得需要，當時顯然不可能。為什麼說要是正整數呢，因為不然就能給出成噸的反例。當然，要是題主說的是相鄰三項，那顯然是不可能的，因為只有1這個根。