等邊三角形！

) 先證明一個結論：tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC

利用三角函式公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

因為C=π-(A+B)，所以tanC=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)，移項即得tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC

變形得(1/tanA)*(1/tanB)+(1/tanB)*(1/tanC)+(1/tanC)*(1/tanA)=1

2) 很容易證明以下不等式：(x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+zx)

(x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) = x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = (1/2)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] >= 0

即(x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+zx)，在x=y=z時取等號

3) 根據1)、2)的結論有[(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC)]^2 >= 3[(1/tanA)*(1/tanB)+(1/tanB)*(1/tanC)+(1/tanC)*(1/tanA)] = 3，故(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC) >= √3或(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC)

根據題意，僅僅在三個內角都相等時，才等於根號3

所以A=B=C=60 所以三角形為等邊三角形