題目

已知三角形ABC，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，I為三角形ABC的內心，IA為三角形ABC的旁心，求證：IK=BC=a。

分析

內心：三角形三個角的平分線的交點。

旁心：與三角形的一邊以及另外兩邊的延長線相切的圓的圓心。

IK=DE=BE+BD=BE+BM；

BC=BM+MC；

要證明IK=BC，即只需要證明BE=MC即可。

證明證明過程中有些簡單的三角形全等而得出來的邊相等的關係，其證明過程省略，直接使用邊相等的結果。

a=BC=BM+CM=BD+CM；

b=AC=AD+CM；

c=AB=AD+BD；

∴2CM=(BD+CM)+(AD+CM)-(AD+BD)=BC+AC-AB=a+b-c，

∴CM=(a+b-c)/2。

BE=AE-AB=AE-c，

∵AE=AF=AC+CF=AC+CL=AC+BC-BL=AC+BC-BE=b+a-BE，

∴BE=AE-c=b+a-BE-c，即2BE=b+a-c，

∴BE=(a+b-c)/2。

∴BE=MC。

又∵BD=BM，∴BD+BE=BM+MC，即DE=BC。

∵DE=IK，∴IK=BC=a，即為所求證。