下面從受眾為初中生的情況來證明(列舉法)

作為初中生

1.可以，先用二次函式證明等周的矩形和正方

形，正方形面積最大。

證明如下：

設矩形的周長為L，一邊長為x，面積為S。

則S=x(L/2-x)=-X²+Lx/2(這是一個二次函式)

∵a=-1<0，∴S有最大值。

當X=-b/2a=L/4即矩形的四條邊相等(正方形)時，面積最大。

2.再計算周長為L的正三角形、正方形和正六邊形這三種圖形的面積。(其它正多邊形的面積計算較為麻煩)。

其中S正方形=L²/16，S正三角形=√3L²/36，S正六邊形=√3L²/24。

∴S正六邊形>s正四邊形>s正三邊形。

得出結論:等周的正多邊形邊數越大，面積越大。

3.計算周長為L的圓的面積 S圓=L²/4pi。

∵L²/4pi>√3L²/24

∴S圓>S六邊形。

這個問題是引出變分法的經典問題，也叫isoperimentric problem。

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問題可以表述為：在平面內等周長的曲線中，哪一種包圍的面積最大？不能提前給定圖形具有什麼對稱性。所以使用極座標表示，

圓的圓心可以不在座標原點。

等周圖形,越規則面積越大

我這說的越規則說的是高度對稱性,也就是其對稱性越好,在等周條件下,圓的面積最大.下面給出證明:

證明之前我們先從幾個面積可能最大的圖形上進行計算

接下來證明等周長情況下,正多邊形的面積

都搞的有點複雜而不全面了。是可以證明的。任選兩點把周長一分為二，兩點連線把圖形分為兩部分，一邊大一邊小的話，然後把小的搞成大的。直到最後，任意平分周長的兩點連線把圖形分割成兩邊對稱相等的圖形，這個圖形是圓，所以圓面積最大。