“有理數是整數的商”是有理數的定義。有理數是有限小數和無限不迴圈小數需要證明。我下面舉一些小學生都能看懂的例子。注意這些只是例子而不是證明；但是以下例子的思路都可以嚴格化。有限小數可以寫作整數的比（簡稱分數）：0.1234=

1234/10000

無限迴圈小數可以寫作分數：0.123412341234…=1234/9999 純迴圈小數等於迴圈節處以相同數量的9組成的整數5.6123412341234…=(56+1234/9999)/10分數寫成有限小數：23/17。做豎式除法。商1餘4 1.商2餘6 1.2商3餘9 1.23商5餘5 1.235商2餘16 1.2352商9餘7 1.23529商4餘2 1.235294商1餘3 1.2352941商1餘13 1.23429411商7餘11 1.234294117商6餘8 1.2342941176商4餘12 1.23429411764商7餘1 1.234294117647商0餘10 1.2342941176470商5餘15 1.23429411764705商8餘14 1.234294117647058商8餘4 1.2342941176470588我們第一行的除法就是餘4。所以以下會和那時一樣依次出現2342941176470588，而後仍然餘4，再接著出現相同的2342941176470588，因此23/17=1.234294117647058823429411764705882342941176470588…出現迴圈。出現迴圈的關鍵在於我們找到了兩次除法有相同的餘數。除非除到某一步除盡得到有限小數，我們會得到無數個餘數。而餘數必須小於除數，因此只有有限個。這樣在無限小數的情況下，我們做豎式除法時，總會在某步得到以前出現過的餘數，從此就會開始迴圈。因此分數總能寫成小數。