拉普拉斯變換提供了一種變換定義域的方法，把定義在時域上的訊號（函式）對映到複頻域上（要理解這句話，需要了解一下函式空間的概念--我們知道，函式定義了一種“從一個集合的元素到另一個集合的元素”的關係，而兩個或以上的函式組合成的集合，就是函式空間，即函式空間也是一個集合；拉普拉斯變換的“定義域”，就是函式空間，可以說，拉普拉斯變換就是一種處理函式的函式。由於拉普拉斯變換定義得相當巧妙，所以它就具有一些奇特的特質），而且，這是一種一一對應的關係（只要給定複頻域的收斂域），故只要給定一個時域函式（訊號），它就能透過拉普拉斯變換變換到一個複頻域訊號（不管這個訊號是實訊號還是覆信號），因而，只要我們對這個複頻域訊號進行處理，也就相當於對時域訊號進行處理（例如設f(t)←→F(s),Re[s]>a，則若我們對F(s)進行時延處理，得到訊號F(s-z)，Re[s]>a+Re[z],那麼就相當於我們給時域函式乘以一個旋轉因子e^zt，即f(t)e^zt←→F(s-z),Re[s]>a+Re[z]；只要對F(s-z)進行反變換，就可以得到f(t)e^zt）。拉普拉斯變換被用於求解微分方程，主要是應用拉普拉斯變換的幾個性質，使求解微分方程轉變為求解代數方程（因為求解代數方程總比求解微分方程容易得多！而且，（可以很方便地）對求解結果進行拉普拉斯反變換從而得到原微分方程的解）。我們總可以容易地畫出實變函式的影象（絕大多數函式的確如此），但我們難以畫出一個複變函式的圖象，這也許是拉普拉斯變換比較抽象的原因之一；而另外一個原因，就是拉普拉斯變換中的複頻率s沒有明確的物理意義。關於特徵根和複數，建議提問者再去看看書中的定義，應該不難理解。
拉普拉斯變換提供了一種變換定義域的方法，把定義在時域上的訊號（函式）對映到複頻域上（要理解這句話，需要了解一下函式空間的概念--我們知道，函式定義了一種“從一個集合的元素到另一個集合的元素”的關係，而兩個或以上的函式組合成的集合，就是函式空間，即函式空間也是一個集合；拉普拉斯變換的“定義域”，就是函式空間，可以說，拉普拉斯變換就是一種處理函式的函式。由於拉普拉斯變換定義得相當巧妙，所以它就具有一些奇特的特質），而且，這是一種一一對應的關係（只要給定複頻域的收斂域），故只要給定一個時域函式（訊號），它就能透過拉普拉斯變換變換到一個複頻域訊號（不管這個訊號是實訊號還是覆信號），因而，只要我們對這個複頻域訊號進行處理，也就相當於對時域訊號進行處理（例如設f(t)←→F(s),Re[s]>a，則若我們對F(s)進行時延處理，得到訊號F(s-z)，Re[s]>a+Re[z],那麼就相當於我們給時域函式乘以一個旋轉因子e^zt，即f(t)e^zt←→F(s-z),Re[s]>a+Re[z]；只要對F(s-z)進行反變換，就可以得到f(t)e^zt）。拉普拉斯變換被用於求解微分方程，主要是應用拉普拉斯變換的幾個性質，使求解微分方程轉變為求解代數方程（因為求解代數方程總比求解微分方程容易得多！而且，（可以很方便地）對求解結果進行拉普拉斯反變換從而得到原微分方程的解）。我們總可以容易地畫出實變函式的影象（絕大多數函式的確如此），但我們難以畫出一個複變函式的圖象，這也許是拉普拉斯變換比較抽象的原因之一；而另外一個原因，就是拉普拉斯變換中的複頻率s沒有明確的物理意義。關於特徵根和複數，建議提問者再去看看書中的定義，應該不難理解。