1.角平分線

如圖，在任意三角形ABC中，∠BAC與∠ABC的角平分線交於F點

作FI⊥AC，FG⊥BC，FH⊥AB

∵BF平分∠ABC

且FH⊥AB，FG⊥BC

∴FH=FG（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）

又∵AF平分∠BAC

且FH⊥AB，FI⊥AC

∴FI=FH

∴FI=FH=FG

∴點F在∠C的角平分線上（到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）

2.中線

在任意三角形ABC中，AE=BE,AD=DC,連線CE，BD交於O點，連線AO，延長AO至G點，交BC於點F，使OF=FG，作BG//EC ，交AF的延長線於G，連線CG

∵BG//EC

∴AE/BE=AO/OG

∵CE是AB邊的中線，即AE=BE

∴AO=OG

∵BD是AC邊的中線

∴OD是△AGC的中位線

∴OD//GC

∴四邊形OBGC是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）

∴BF=CF（平行四邊形對角線互相平分）

∴AF是BC邊的中線

3.高線

在任意三角形ABC中，BG⊥AC於G，AF⊥BC於F，CE與AF交於D點，連線BD，延長BD交AC於G點，連線GF

∵BG⊥AC於G，AF⊥BC於F

∴A、B、G、F四點共圓

∴∠BGF＝∠BAF

同理∠BCE＝∠BGF

∴∠BCE＝∠BAF

又∵BG⊥AC於G

∴∠AFC=90°

∴∠BAF+∠ABC＝90°

又∵∠BAF=∠BCE

∴∠BCE+∠ABC＝90°

∴∠BEC=90°

即CE⊥AB