指數函式機率密度函式：f(x)=a*e^(ax),x>0,其中a>0為常數.

f(x)=0,其他

有連續行隨機變數的期望有E(X)==∫|x|*f(x)dx,(積分割槽間為負無窮到正無窮)

則E(X)==∫|x|*f(x)dx,(積分割槽間為0到正無窮),因為負無窮到0時函式值為0.

EX)==∫x*f(x)dx==∫ax*e^(-ax)dx=-(xe^(-ax)+1/a*e^(-ax))|(正無窮到0)=1/a

而E(X^2)==∫x^2*f(x)dx=∫x^2*a*e^(ax)dx=-(2/a^2*e^(-ax)+2x*e^(-ax)+ax^2*e^(-ax))|(正無窮到0)=2/a^2,

DX=E(X^2)-(EX)^2=2/a^2-(1/a)^2=1/a^2

指數分佈的應用

在日本的工業標準和美國軍用標準中，半導體器件的抽驗方案都是採用指數分佈。此外，指數分佈還用來描述大型複雜系統（如計算機）的平均故障間隔時間MTBF的失效分佈。

但是，由於指數分佈具有缺乏“記憶”的特性。因而限制了它在機械可靠性研究中的應用，所謂缺乏“記憶”，是指某種產品或零件經過一段時間t0的工作後，仍然如同新的產品一樣，不影響以後的工作壽命值。

或者說，經過一段時間t0的工作之後，該產品的壽命分佈與原來還未工作時的壽命分佈相同。

指數分佈的這種特性，與機械零件的疲勞、磨損、腐蝕、蠕變等損傷過程的實際情況是完全矛盾的，它違背了產品損傷累積和老化這一過程。所以，指數分佈不能作為機械零件功能引數的分佈形式。