(cos(x))^x-1=e^(xlncosx)-1-->0，當x-->0時

於是假設x^a是(cos(x))^x-1的等階無窮小，則只需驗證

lim[(cos(x))^x-1]/(x^b)=c（非零常數）

利用洛比達法則可知

[(cos(x))^x-1]‘=[e^(xlncosx)-1]"=xln(cosx)[lncosx-xtanx]

上式中xln(cosx)-->1,所以只需對[lncosx-xtanx]繼續求導得

[lncosx-xtanx]"=-2tanx-x(secx)2-->0

繼續求導

[lncosx-xtanx]""=-3(secx)2-2xtanx(secx)2-->-3

綜上，對(cos(x))^x-1求了三階導數以後極限趨於-3，所以只需分母求了三階導數以後是個非零常數即可，因此可知b=3，即(cos(x))^x-1的等階無窮小是x3

如果要求的是等價無窮小，只需lim[(cos(x))^x-1]/(x^b)=1，同理可求出結果。本題的關鍵點是利用洛必達法則的一個條件，就是要求極限的式子一定要是待定型，本題屬於0/0型，如果求導到某一步極限非零了（不是待定型），那麼就不能用洛比達法則了。