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  • 1 # 使用者3526209610804

    1.角平分線

    如圖,在任意三角形ABC中,∠BAC與∠ABC的角平分線交於F點

    作FI⊥AC,FG⊥BC,FH⊥AB

    ∵BF平分∠ABC

    且FH⊥AB,FG⊥BC

    ∴FH=FG(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)

    又∵AF平分∠BAC

    且FH⊥AB,FI⊥AC

    ∴FI=FH

    ∴FI=FH=FG

    ∴點F在∠C的角平分線上(到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)

    2.中線

    在任意三角形ABC中,AE=BE,AD=DC,連線CE,BD交於O點,連線AO,延長AO至G點,交BC於點F,使OF=FG,作BG//EC ,交AF的延長線於G,連線CG

    ∵BG//EC

    ∴AE/BE=AO/OG

    ∵CE是AB邊的中線,即AE=BE

    ∴AO=OG

    ∵BD是AC邊的中線

    ∴OD是△AGC的中位線

    ∴OD//GC

    ∴四邊形OBGC是平行四邊形(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)

    ∴BF=CF(平行四邊形對角線互相平分)

    ∴AF是BC邊的中線

    3.高線

    在任意三角形ABC中,BG⊥AC於G,AF⊥BC於F,CE與AF交於D點,連線BD,延長BD交AC於G點,連線GF

    ∵BG⊥AC於G,AF⊥BC於F

    ∴A、B、G、F四點共圓

    ∴∠BGF=∠BAF

    同理∠BCE=∠BGF

    ∴∠BCE=∠BAF

    又∵BG⊥AC於G

    ∴∠AFC=90°

    ∴∠BAF+∠ABC=90°

    又∵∠BAF=∠BCE

    ∴∠BCE+∠ABC=90°

    ∴∠BEC=90°

    即CE⊥AB

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