1.角平分線
如圖,在任意三角形ABC中,∠BAC與∠ABC的角平分線交於F點
作FI⊥AC,FG⊥BC,FH⊥AB
∵BF平分∠ABC
且FH⊥AB,FG⊥BC
∴FH=FG(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)
又∵AF平分∠BAC
且FH⊥AB,FI⊥AC
∴FI=FH
∴FI=FH=FG
∴點F在∠C的角平分線上(到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)
2.中線
在任意三角形ABC中,AE=BE,AD=DC,連線CE,BD交於O點,連線AO,延長AO至G點,交BC於點F,使OF=FG,作BG//EC ,交AF的延長線於G,連線CG
∵BG//EC
∴AE/BE=AO/OG
∵CE是AB邊的中線,即AE=BE
∴AO=OG
∵BD是AC邊的中線
∴OD是△AGC的中位線
∴OD//GC
∴四邊形OBGC是平行四邊形(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)
∴BF=CF(平行四邊形對角線互相平分)
∴AF是BC邊的中線
3.高線
在任意三角形ABC中,BG⊥AC於G,AF⊥BC於F,CE與AF交於D點,連線BD,延長BD交AC於G點,連線GF
∵BG⊥AC於G,AF⊥BC於F
∴A、B、G、F四點共圓
∴∠BGF=∠BAF
同理∠BCE=∠BGF
∴∠BCE=∠BAF
又∵BG⊥AC於G
∴∠AFC=90°
∴∠BAF+∠ABC=90°
又∵∠BAF=∠BCE
∴∠BCE+∠ABC=90°
∴∠BEC=90°
即CE⊥AB
1.角平分線
如圖,在任意三角形ABC中,∠BAC與∠ABC的角平分線交於F點
作FI⊥AC,FG⊥BC,FH⊥AB
∵BF平分∠ABC
且FH⊥AB,FG⊥BC
∴FH=FG(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)
又∵AF平分∠BAC
且FH⊥AB,FI⊥AC
∴FI=FH
∴FI=FH=FG
∴點F在∠C的角平分線上(到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)
2.中線
在任意三角形ABC中,AE=BE,AD=DC,連線CE,BD交於O點,連線AO,延長AO至G點,交BC於點F,使OF=FG,作BG//EC ,交AF的延長線於G,連線CG
∵BG//EC
∴AE/BE=AO/OG
∵CE是AB邊的中線,即AE=BE
∴AO=OG
∵BD是AC邊的中線
∴OD是△AGC的中位線
∴OD//GC
∴四邊形OBGC是平行四邊形(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)
∴BF=CF(平行四邊形對角線互相平分)
∴AF是BC邊的中線
3.高線
在任意三角形ABC中,BG⊥AC於G,AF⊥BC於F,CE與AF交於D點,連線BD,延長BD交AC於G點,連線GF
∵BG⊥AC於G,AF⊥BC於F
∴A、B、G、F四點共圓
∴∠BGF=∠BAF
同理∠BCE=∠BGF
∴∠BCE=∠BAF
又∵BG⊥AC於G
∴∠AFC=90°
∴∠BAF+∠ABC=90°
又∵∠BAF=∠BCE
∴∠BCE+∠ABC=90°
∴∠BEC=90°
即CE⊥AB