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  • 1 # 使用者6771341393475

    這個應該不難證明吧,用數學歸納法,顯然k = 1時命題成立,假定任意k <= N都能表示為不同的斐波那契數之和,考慮k = N +1,如果它是斐波那契數那結論成立,否則一定存在相鄰的兩個斐波那契數 ,則 ,按照歸納法假設 可以表達為不同的斐波那契數之和,而它又小於 (因為 ),所以這不同的數中並不包含 ,所以k=N+1也能表示為不同斐波那契數之和。

    從證明過程來看,如果正整數數列的起始項為1,而且滿足 ,那麼都是可以符合條件的。不按順序的可以考慮重新排序之後的數列。

    從必要性上來說,對於一個嚴格遞增的序列,如果存在 ,其中 是 的前n項和,則 顯然無法表示為不相同的項之和,所以必須有 ,這和我們剛才的充分條件中間好像還差了一點點,所以充要條件等其他人補充吧

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    不用其他人補充了,我們來證明對於任意嚴格遞增的數列 , 且 就是個充要條件。還是一樣的方法,不過我們需要加強一下這個命題,我們現在證明:

    如果數列滿足: , ,則對於任意正整數k,k總能表示為若干不同的 的和,且:如果 ,則k總能表示為 中若干不同的數的和。

    顯然命題對k = 1成立。

    如果命題對k <= N成立,當k = N+1時,存在 , 時顯然成立,當 時, ,若 ,則命題也成立;否則 , ,所以根據歸納假設, 可以被 中的數的和表示,再加上 ,就可以表示k。

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