這個應該不難證明吧，用數學歸納法，顯然k = 1時命題成立，假定任意k <= N都能表示為不同的斐波那契數之和，考慮k = N +1，如果它是斐波那契數那結論成立，否則一定存在相鄰的兩個斐波那契數 ，則 ，按照歸納法假設 可以表達為不同的斐波那契數之和，而它又小於 （因為 ），所以這不同的數中並不包含 ，所以k=N+1也能表示為不同斐波那契數之和。

從證明過程來看，如果正整數數列的起始項為1，而且滿足 ，那麼都是可以符合條件的。不按順序的可以考慮重新排序之後的數列。

從必要性上來說，對於一個嚴格遞增的序列，如果存在 ，其中 是 的前n項和，則 顯然無法表示為不相同的項之和，所以必須有 ，這和我們剛才的充分條件中間好像還差了一點點，所以充要條件等其他人補充吧

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不用其他人補充了，我們來證明對於任意嚴格遞增的數列 ， 且 就是個充要條件。還是一樣的方法，不過我們需要加強一下這個命題，我們現在證明：

如果數列滿足： ， ，則對於任意正整數k，k總能表示為若干不同的 的和，且：如果 ，則k總能表示為 中若干不同的數的和。

顯然命題對k = 1成立。

如果命題對k <= N成立，當k = N+1時，存在 ， 時顯然成立，當 時， ，若 ，則命題也成立；否則 ， ，所以根據歸納假設， 可以被 中的數的和表示，再加上 ，就可以表示k。