0！＝1.

由於以前沒有把階乘拓寬，高中數學書上只是作了硬性的規定。

其實，拓寬到負整數階乘以後，自然而然的就解釋了0的階乘等於1.

就是：

因為(-1)！=-1*-2*-3*-4*-5*...

0*(-1)！＝1.

所以0！＝1.

詳見《張氏數演奕》之《張氏階乘數》

階乘最初是定義在自然數域，n！=1*2*…*n。這個很好理解。搞數學的都喜歡擴張領域，那階乘！能不能推廣到自然數以外呢？

很顯然，階乘的實質很容易提煉出一個遞推公式：（n+1）！=（n+1）*n！

那麼把n=0代入，有1！=1*0！，這就是0！=1的由來。

當然當我們想繼續推廣時會發現負整數的階乘沒法定義，按上述遞推公式，負整數的階乘應該在±∞交錯。

但如果你以為數學家們就此止步了，呵呵…

【前方高能預警】！！！

尤拉（又是他！）首先開始考慮把階乘推廣到實數域乃至複數。出發點仍然是那個遞推公式：

F（x+1）=（x+1）*F（x），此外有F（0）=1。

如果只考慮初等函式自然是不太可能的，但作為一個“把微積分從嬰兒一手帶大”（伯努利語）的大神，尤拉的武器庫早就不是冷兵器時代。

其實這個可以作為大學生一個特別好的微積分延展學習。如果給出提示：用含引數x的積分式來定義F，利用分部積分來滿足遞推公式。聰明的數學專業學生就應該想到使用兩個經典函式：

- 以x為指數的冪函式積分（產生遞推因子x）。

- 還有自然常數的指函式（積分不動點）。

從而有機會自己想出下面的公式：

x！=F（x）=∫yˣe⁻ʸdy，對y從0到+∞積分。

不難證明這個積分式滿足階乘的遞推公式，而且可以推廣到整個實數域甚至複數域。而且很明顯，除了負整數積分不收斂之外，其它都有確定值。