希爾伯特
談到希爾伯特變換，我們先直接來看它的定義
從定義來看，其就是一個卷積運算，原訊號與1/πt的卷積，就是希爾伯特變換。
這一切還得從DSB訊號說起......
我們都知道模擬調製技術中，有一種技術叫做DSB(Double Side Band)雙邊帶調製技術，其時域表示式為：
m(t)是原始訊號(調製訊號)，coswct是載波訊號，用原始訊號去調製載波，具體的圖形變化如下：
左邊一列是時域的波形變化，右邊一列是對應的傅立葉變換，也就是頻譜圖。從頻譜圖中，我們可以看到，DSB訊號的頻譜Sdsb(w)是一個雙邊帶的譜，分別有上邊帶和下邊帶，上下兩個邊帶是對稱的。
這就是為什麼叫它為DSB訊號的緣由。
所以我們可以推匯出單邊帶SSB訊號。
我們先從原始訊號m(t)的頻譜M(w)開始，因為這個頻譜是雙邊帶的，我們先砍去一半的頻譜？
怎麼砍？
利用我們熟悉的階躍函式啊！
這樣，直接就把M(w)變成單邊帶了。如下圖1-2所示：
然後我們把Ma(w)的頻譜向右平移wc，變為Ma(w-wc)，如圖3所示。
這時的頻譜是單邊帶的，而且是調製搬移後的。
但是，你想過沒有，以上都是在頻域變化的。
在頻域，我們用階躍函式去砍掉一個邊帶，那麼這個操作在時域是什麼樣子呢？
這個時候我們透過傅立葉反變換，求得時域的表示式：
m(t)+jm(t)*(1/πt)
於是，我們把m(t)*(1/πt)定義成希爾伯特變化，真個表示式稱為解析形式，它具有單邊帶的頻譜。
這樣的解釋，應該式最直接與易理解的。
希爾伯特
Hilbert變換的定義談到希爾伯特變換，我們先直接來看它的定義
從定義來看，其就是一個卷積運算，原訊號與1/πt的卷積，就是希爾伯特變換。
Hilbert變換的物理意義這一切還得從DSB訊號說起......
我們都知道模擬調製技術中，有一種技術叫做DSB(Double Side Band)雙邊帶調製技術，其時域表示式為：
m(t)是原始訊號(調製訊號)，coswct是載波訊號，用原始訊號去調製載波，具體的圖形變化如下：
左邊一列是時域的波形變化，右邊一列是對應的傅立葉變換，也就是頻譜圖。從頻譜圖中，我們可以看到，DSB訊號的頻譜Sdsb(w)是一個雙邊帶的譜，分別有上邊帶和下邊帶，上下兩個邊帶是對稱的。
這就是為什麼叫它為DSB訊號的緣由。
既然這裡是上下兩個邊帶，而且是對稱的，那麼我們只要傳輸一個邊帶，另外一個邊帶不需要傳輸啊，因為它們是對稱的。所以我們可以推匯出單邊帶SSB訊號。
我們先從原始訊號m(t)的頻譜M(w)開始，因為這個頻譜是雙邊帶的，我們先砍去一半的頻譜？
怎麼砍？
利用我們熟悉的階躍函式啊！
這樣，直接就把M(w)變成單邊帶了。如下圖1-2所示：
然後我們把Ma(w)的頻譜向右平移wc，變為Ma(w-wc)，如圖3所示。
這時的頻譜是單邊帶的，而且是調製搬移後的。
但是，你想過沒有，以上都是在頻域變化的。
在頻域，我們用階躍函式去砍掉一個邊帶，那麼這個操作在時域是什麼樣子呢？
這個時候我們透過傅立葉反變換，求得時域的表示式：
m(t)+jm(t)*(1/πt)
於是，我們把m(t)*(1/πt)定義成希爾伯特變化，真個表示式稱為解析形式，它具有單邊帶的頻譜。
這樣的解釋，應該式最直接與易理解的。