注:本方法只適用於存在有理數根的情況
先來一個例項吧
考慮到一般考題中解不會太複雜,我們假定解是一個分數,且它的最簡形式是
把 轉化一下,也就是
設 ,那麼我們可以得到
和 互質,而等式兩邊相等,顯然 且
把這個帶回 的定義式,也就是
檢驗小於 的整數,易知 時成立
得 是一個解,所以原式可以被 整除,因式分解
所以
再來一個例子
同樣化成
,其中
這時有三種可能
依次檢驗即可,解得
做到這裡的讀者可能找到規律了。
解的最簡分數形式的分母一定是最高次項的因數
那麼分子呢?
分子是一樣的道理的,區別在於分子一定是最低次數項的因數
證明留給大家,思路差不多
那麼我們再做一道
根據推論,解的分母一定是
常數項 的因數有 ,它們作為解的分子存在。
這裡有個小技巧,設
易知 ,所以 中間有根(雖然不一定是我們要找的有理根)
推薦先嚐試 和
依次檢驗可以得到 時成立
因式分解得到
可能細心的讀者會注意到,比如說第二問為什麼不能是 呢?(其中 是任意整數)
根據 的定義式,我們知道 一定是整數,所以 一定是 的倍數
這與 互質矛盾
所以不可能是類似 的這種情況
注:本方法只適用於存在有理數根的情況
先來一個例項吧
考慮到一般考題中解不會太複雜,我們假定解是一個分數,且它的最簡形式是
把 轉化一下,也就是
設 ,那麼我們可以得到
和 互質,而等式兩邊相等,顯然 且
把這個帶回 的定義式,也就是
檢驗小於 的整數,易知 時成立
得 是一個解,所以原式可以被 整除,因式分解
所以
再來一個例子
同樣化成
,其中
這時有三種可能
依次檢驗即可,解得
所以
做到這裡的讀者可能找到規律了。
解的最簡分數形式的分母一定是最高次項的因數
那麼分子呢?
分子是一樣的道理的,區別在於分子一定是最低次數項的因數
證明留給大家,思路差不多
那麼我們再做一道
根據推論,解的分母一定是
常數項 的因數有 ,它們作為解的分子存在。
這裡有個小技巧,設
易知 ,所以 中間有根(雖然不一定是我們要找的有理根)
推薦先嚐試 和
依次檢驗可以得到 時成立
因式分解得到
所以
可能細心的讀者會注意到,比如說第二問為什麼不能是 呢?(其中 是任意整數)
根據 的定義式,我們知道 一定是整數,所以 一定是 的倍數
這與 互質矛盾
所以不可能是類似 的這種情況