證法5(歐幾里得的證法) 《幾何原本》中的證明 在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。 在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下： 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。 任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。 證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。 其證明如下： 設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。 分別連線CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。 因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。 因為 A 與 K 和 L是線性對應的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。 因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB^2。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC^2。 把這兩個結果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 。由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由於CBDE是個正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的
證法5(歐幾里得的證法) 《幾何原本》中的證明 在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。 在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下： 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。 任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。 證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。 其證明如下： 設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。 分別連線CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。 因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。 因為 A 與 K 和 L是線性對應的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。 因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB^2。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC^2。 把這兩個結果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 。由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由於CBDE是個正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的