這5種運算（複合是一種運算）只有除不是，其他都是。例如x, x^2在R上連續，但是x/x^2=1/x在R上不連續。函式y=f（x）當自變數x的變化很小時，所引起的因變數y的變化也很小。例如，氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如，自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的。對於這種現象，我們說因變數關於自變數是連續變化的，連續函式在直角座標系中的影象是一條沒有斷裂的連續曲線。由極限的性質可知，一個函式在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。擴充套件資料：連續函式的性質閉區間上的連續函式具有一些重要的性質，是數學分析的基礎，也是實數理論在函式中的直接體現。下面的性質都基於f(x)是[a,b]上的連續函式得出的結論。有界性閉區間上的連續函式在該區間上一定有界。所謂有界是指，存在一個正數M，使得對於任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。證明：利用緻密性定理：有界的數列必有收斂子數列。反證法，假設f(x)在[a,b]上無上界，則對任意正數M，都存在一個x"∈[a,b]，使f(x")>M。特別地，對於任意正整數n，都存在一個xn∈[a,b]，使f(xn)>n。又由歸結原則和函式在點x0的連續性可知，所以假設不成立，f(x)在[a,b]上必有上界。同理可證f(x)在[a,b]上必有下界，從而f(x)在[a,b]上有界。最值性閉區間上的連續函式在該區間上一定能取得最大值和最小值。所謂最大值是指，[a,b]上存在一個點x0，使得對任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同樣作定義，只需把上面的不等號反向即可。證明：利用確界原理：非空有上（下）界的點集必有上（下）確界。由於已經證明了f(x)在[a,b]上有界，因此由確界原理可知，f(x)的值域f([a,b])必有上確界和下確界。設f([a,b])的上確界為M，則必存在ξ∈[a,b]使f(ξ)=M若不是這樣，根據上界的定義，對任意x∈[a,b]，都有f(x)
這5種運算（複合是一種運算）只有除不是，其他都是。例如x, x^2在R上連續，但是x/x^2=1/x在R上不連續。函式y=f（x）當自變數x的變化很小時，所引起的因變數y的變化也很小。例如，氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如，自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的。對於這種現象，我們說因變數關於自變數是連續變化的，連續函式在直角座標系中的影象是一條沒有斷裂的連續曲線。由極限的性質可知，一個函式在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。擴充套件資料：連續函式的性質閉區間上的連續函式具有一些重要的性質，是數學分析的基礎，也是實數理論在函式中的直接體現。下面的性質都基於f(x)是[a,b]上的連續函式得出的結論。有界性閉區間上的連續函式在該區間上一定有界。所謂有界是指，存在一個正數M，使得對於任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。證明：利用緻密性定理：有界的數列必有收斂子數列。反證法，假設f(x)在[a,b]上無上界，則對任意正數M，都存在一個x"∈[a,b]，使f(x")>M。特別地，對於任意正整數n，都存在一個xn∈[a,b]，使f(xn)>n。又由歸結原則和函式在點x0的連續性可知，所以假設不成立，f(x)在[a,b]上必有上界。同理可證f(x)在[a,b]上必有下界，從而f(x)在[a,b]上有界。最值性閉區間上的連續函式在該區間上一定能取得最大值和最小值。所謂最大值是指，[a,b]上存在一個點x0，使得對任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同樣作定義，只需把上面的不等號反向即可。證明：利用確界原理：非空有上（下）界的點集必有上（下）確界。由於已經證明了f(x)在[a,b]上有界，因此由確界原理可知，f(x)的值域f([a,b])必有上確界和下確界。設f([a,b])的上確界為M，則必存在ξ∈[a,b]使f(ξ)=M若不是這樣，根據上界的定義，對任意x∈[a,b]，都有f(x)