倍週期分叉過程是一條通向混沌的典型道路，即可以認為是從週期視窗中進入混沌的一種方式。透過倍週期分叉到達混沌現象的過程中，會依次經過週期1，週期2，……週期4，混沌單吸引子和混沌雙吸引子。
從任何初始值出發迭代時, 一般有個暫態過程, 但當迭代次數很大, 即當n→∞時, 演化會導致一個確定的終態. 終態可取無窮多種值, 對初值極為敏感, 成為不可預測, 開始出現混沌現象。在此前終態都是週期的、可預測的, 並與初值無關。
混沌現象產生於不可積系統, 由於方程解的長期行為對初值十分敏感, 出現了貌似隨機的行為。在同一時期, 非線性研究中也揭示了與之相反的另一極端現象, 發現了孤立波 (或孤立子) 的存在. 它產生於一批非線性完全可積系統, 它們的解具有規則性和出奇的穩定性, 說明非線性還在產生有序性方面有重要作用。 在非線性科學中，“混沌”這個詞的含義和本意相似但又不完全一致，非線性科學中的混沌現象指的是一種確定的但不可預測的運動狀態。它的外在表現和純粹的隨機運動很相似，即都不可預測。但和隨機運動不同的是，混沌運動在動力學上是確定的，它的不可預測性是來源於運動的不穩定性。或者說混沌系統對無限小的初值變動和微繞也具于敏感性，無論多小的擾動在長時間以後，也會使系統徹底偏離原來的演化方向。混沌現象是自然界中的普遍現象，天氣變化就是一個典型的混沌運動。混沌現象的一個著名錶述就是蝴蝶效應：南美洲一隻蝴蝶扇一扇翅膀，就會在佛羅里達引起一場颶風。
混沌系統具有三個關鍵要素：一是對初始條件的敏感依賴性；二是臨界水平，這裡是非線性事件的發生點；三是分形維，它表明有序和無序的統一。混沌系統經常是自反饋系統，出來的東西會回去經過變換再出來，迴圈往復，沒完沒了，任何初始值的微小差別都會按指數放大，因此導致系統內在地不可長期預測。
混沌確定系統是龐加萊在研究三體問題時第一次發現的。 奇怪吸引子是指具有以下特徵的吸引子：從整體上講系統是穩定的即吸引子外的一切運動最後都要收斂到吸引子上.但就區域性來說吸引子內的運動又是不穩定的即相鄰運動軌道要相互排斥而按指數型分離。
倍週期分叉過程是一條通向混沌的典型道路，即可以認為是從週期視窗中進入混沌的一種方式。透過倍週期分叉到達混沌現象的過程中，會依次經過週期1，週期2，……週期4，混沌單吸引子和混沌雙吸引子。
從任何初始值出發迭代時, 一般有個暫態過程, 但當迭代次數很大, 即當n→∞時, 演化會導致一個確定的終態. 終態可取無窮多種值, 對初值極為敏感, 成為不可預測, 開始出現混沌現象。在此前終態都是週期的、可預測的, 並與初值無關。
混沌現象產生於不可積系統, 由於方程解的長期行為對初值十分敏感, 出現了貌似隨機的行為。在同一時期, 非線性研究中也揭示了與之相反的另一極端現象, 發現了孤立波 (或孤立子) 的存在. 它產生於一批非線性完全可積系統, 它們的解具有規則性和出奇的穩定性, 說明非線性還在產生有序性方面有重要作用。 在非線性科學中，“混沌”這個詞的含義和本意相似但又不完全一致，非線性科學中的混沌現象指的是一種確定的但不可預測的運動狀態。它的外在表現和純粹的隨機運動很相似，即都不可預測。但和隨機運動不同的是，混沌運動在動力學上是確定的，它的不可預測性是來源於運動的不穩定性。或者說混沌系統對無限小的初值變動和微繞也具于敏感性，無論多小的擾動在長時間以後，也會使系統徹底偏離原來的演化方向。混沌現象是自然界中的普遍現象，天氣變化就是一個典型的混沌運動。混沌現象的一個著名錶述就是蝴蝶效應：南美洲一隻蝴蝶扇一扇翅膀，就會在佛羅里達引起一場颶風。
混沌系統具有三個關鍵要素：一是對初始條件的敏感依賴性；二是臨界水平，這裡是非線性事件的發生點；三是分形維，它表明有序和無序的統一。混沌系統經常是自反饋系統，出來的東西會回去經過變換再出來，迴圈往復，沒完沒了，任何初始值的微小差別都會按指數放大，因此導致系統內在地不可長期預測。
混沌確定系統是龐加萊在研究三體問題時第一次發現的。 奇怪吸引子是指具有以下特徵的吸引子：從整體上講系統是穩定的即吸引子外的一切運動最後都要收斂到吸引子上.但就區域性來說吸引子內的運動又是不穩定的即相鄰運動軌道要相互排斥而按指數型分離。