由麥克斯韋速率分佈函式f(v)=4πv^2·[m/(2πkT)]^1.5·exp[-mv^2/(2kT)]
得到分子的平均速率vm=∫vf(v)dv=[8kT/(πm)]^0.5
又由麥克斯韋速度向量分佈函式fi(vi)=[m/(2πkT)]^0.5·exp[-m·vi^2/(2kT)],i=x,y,z
透過對這個函式的卷積,可得兩分子在某一方向的相對速度向量分佈函式Fi(ui)=∫fi(ui-vi)fi(vi)dvi=[m/(4πkT)]^0.5·exp[-m·ui^2/(4kT)],i=x,y,z
由這個速度向量分佈可得相對速率分佈F(u)=4πu^2·Fx(ux)Fy(uy)Fz(uz)=πu^2/2·[m/(πkT)]^1.5·exp[-mu^2/(4kT)]
因此,平均相對速率為um=∫uF(u)du=4[kT/(πm)]^0.5=2^0.5·vm
假設分子是球體,對某一個分子而言,另一個同種氣體分子到這個分子的球心距小於等於r+r=d,兩分子就會碰撞,也就是另一分子如果位於這個分子的球心為圓心,d為半徑的圓形碰撞截面σ內(σ=πd^2),碰撞就會發生.因此在單位時間內,這個分子可能發生碰撞的體積,也就是在這段時間內兩分子的碰撞截面以相對速率劃過的體積σ·um=2^0.5·πd^2·vm
另一方面,由理想氣體狀態方程pV=NkT,可得一個分子佔據的平均體積V/N=kT/p
所以,一個分子在單位時間內的平均碰撞次數(平均碰撞頻率f),也就是這個分子有效碰撞體積內含有分子平均佔據體積的個數f=2^0.5·πd^2·vm/(V/N)=2^0.5·πd^2·vm·p/(kT).那麼,平均發生一次碰撞的時間t=1/f=kT/(2^0.5·πd^2·vm·p)
氣體的平均自由程為平均發生一次碰撞的時間內分子運動的路程l=vm·t=kT/(2^0.5·πd^2·p)
由麥克斯韋速率分佈函式f(v)=4πv^2·[m/(2πkT)]^1.5·exp[-mv^2/(2kT)]
得到分子的平均速率vm=∫vf(v)dv=[8kT/(πm)]^0.5
又由麥克斯韋速度向量分佈函式fi(vi)=[m/(2πkT)]^0.5·exp[-m·vi^2/(2kT)],i=x,y,z
透過對這個函式的卷積,可得兩分子在某一方向的相對速度向量分佈函式Fi(ui)=∫fi(ui-vi)fi(vi)dvi=[m/(4πkT)]^0.5·exp[-m·ui^2/(4kT)],i=x,y,z
由這個速度向量分佈可得相對速率分佈F(u)=4πu^2·Fx(ux)Fy(uy)Fz(uz)=πu^2/2·[m/(πkT)]^1.5·exp[-mu^2/(4kT)]
因此,平均相對速率為um=∫uF(u)du=4[kT/(πm)]^0.5=2^0.5·vm
假設分子是球體,對某一個分子而言,另一個同種氣體分子到這個分子的球心距小於等於r+r=d,兩分子就會碰撞,也就是另一分子如果位於這個分子的球心為圓心,d為半徑的圓形碰撞截面σ內(σ=πd^2),碰撞就會發生.因此在單位時間內,這個分子可能發生碰撞的體積,也就是在這段時間內兩分子的碰撞截面以相對速率劃過的體積σ·um=2^0.5·πd^2·vm
另一方面,由理想氣體狀態方程pV=NkT,可得一個分子佔據的平均體積V/N=kT/p
所以,一個分子在單位時間內的平均碰撞次數(平均碰撞頻率f),也就是這個分子有效碰撞體積內含有分子平均佔據體積的個數f=2^0.5·πd^2·vm/(V/N)=2^0.5·πd^2·vm·p/(kT).那麼,平均發生一次碰撞的時間t=1/f=kT/(2^0.5·πd^2·vm·p)
氣體的平均自由程為平均發生一次碰撞的時間內分子運動的路程l=vm·t=kT/(2^0.5·πd^2·p)