0.5就是（0，1）的中值。

所有的（0，1）之間的數是無窮的，也就是無窮個0.5的數之和，也就是無窮大了。

可是（0，1），（1，2）……

所有的這些區間內數的和，他們的結果都是無窮大，可是他們無窮大的大小是有差異的。很顯然後者比前者要大。

在極限的裡面無窮多雖然沒有辦法去一個個比較大小，但是總會有一種勢的存在。

1.關於集合元素的多少問題，我們一般稱之為集合的勢，個數多少就是勢的大小。集合A的勢，我們一般記作#A。我們一般不在意有限集的勢的大小。

2.兩個無限集的元素個數相等：當且僅當存在一個雙射，聯絡起這兩個集合。如果雙射為f，那麼有f(A)＝B。

3.我們要闡述一下，無限集：元素個數大於任意給定的數。也就是說無論減去多少個有限元，該集合仍有元素。

4.由定義可知，整數集是無限集。整數集的勢稱為阿列夫零，也叫可數個(最常見的說法)。與其等勢的集合叫做可數集，我們有：無限集都有一個可數子集。

證明：在無限集中取出第一個元素記作a1。取出第二個元素記作a2....因為取出有限個後集合還有元素，所以這樣的步驟可以無限進行下去。那麼取出來的元素構成的集合顯然和整數集等勢(看它們的下標)。

5.勢的比較：如果A有一個子集和B等勢，那麼A≥B。如果A和B等勢，記作#A＝#B。

然後有定理：若#A≥#B，#B≥#A，那麼#A＝#B。(證明留到下次。)

6.設A，B，C是可數集，那麼#A＝#B＝#C(由定義)。我們還有#A＝#(BUC)，不防設B∩C為空。

證明：因為偶數集和奇數集也是可數的。那麼偶數集和B存在一個雙射f，奇數集和C存在一個雙射g。那麼f和g合在一起，就是B∪C與整數集的雙射。即B∪C也是可數集。

7.如果A是無限集，B是可數集。那麼有#A＝#(A∪B)，不妨設A∩B為空。

證明：由4，A有可數子集A1，那麼記C＝A-A1，有A＝C∪A1，A∪B＝C∪(A1∪B)。由6可知#A1＝#(A1∪B)，記這個雙射為f。C到C為恆等對映，記作g。那麼f和g合在一起，就是A到A∪B的雙射，故它們等勢。