向量證明這兩個定理一點優勢都沒有！！！！A、《塞瓦定理》：O為△ABC內任一點，AO延交BC於D， BO延交AC於E，CO延交AB於F，則（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)=1，見圖4。 證明：在△AOB中，OF分∠AOB，由《分角定理》→ AF/BF=（sin∠AOF/sin∠BOF）•(AO/BO)， 同理，在△BOC，△COA中也有。∴ （AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)= （sin∠AOF/sin∠BOF）•(AO/BO) •（sin∠BOD/sin∠COD）•(BO/CO) •（sin∠COE/sin∠AOE）•(CO/AO)=1(由對頂角相等)。 不添線，只列一式。 B、《梅涅勞斯定理》：△ABC被一直線內分AB於F，內分BC於D，外分AC於E，則（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)=1，見圖5。 證明：連AD，在△ADB中，DF內分∠ADB，由《分角定理》→ AF/BF=（sin∠ADF/sin∠BDF）•(AD/BD)；在△ACD中，DE外分∠ADC，同理→ CE/AE=（sin∠CDE/sin∠ADE）•(CD/AD)。∴ （AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)= （sin∠ADF/sin∠BDF）•(AD/BD)•(BD/CD)• （sin∠CDE/sin∠ADE）•(CD/AD)=1。（由對頂角相等，輔角相等） 只添一線，只列一式。 這種不添線（或只添一線）的證明方法，在數學史上屬首創。