高中數學教材中,有很多已知等差數列的首項、公比或公差(或者透過計算可以求出數列的首項,公比),來求數列的通項公式.但實際上有些數列並不是等差、等比數列,給出數列的首項和遞推公式,要求出數列的通項公式.而這些題目往往可以用構造法,根據遞推公式構造出一個新數列,從而間接地求出原數列的通項公式.對於不同的遞推公式,我們當然可以採用不同的方法構造不同的型別的新數列.下面給出幾種我們常見的構造新數列的方法：一．利用倒數關係構造數列.例如：中,若求a n +4,即＝４,｝是等差數列.可以透過等差數列的通項公式求出 ,然再求後數列{ a n }的通項.練習：1)數列{ a n }中,a n ≠0,且滿足 求a n 2)數列{ a n }中,求a n 通項公式.3)數列{ a n }中,求a n .二．構造形如 的數列.例：正數數列{ a n }中,若 設 練習：已知正數數列{ a n }中,,求數列{ a n }的通項公式.三．構造形如 的數列.例：正數數列{ a n }中,若a 1 =10,且求a n .由題意得：,即 .即 練習：（選自2002年高考上海卷） 數列{ a n }中,若a 1 =3,,n是正整數,求數列{ a n }的通項公式.四．構造形如 的數列.例：數列{ a n }中,若a 1 =6,a n+1 =2a n +1,求數列{ a n }的通項公式.a n+1 +1=2a n +2,即a n+1 +1=2（a n +1） 設b n = a n +1,則b n = 2 b n-1 則數列{ b n }是等比數列,公比是2,首項b １ = a １ +1＝7,,構造此種數列,往往它的遞推公式形如：.如：a n+1 ＝c a n +d,設可化成a n+1 +x=c(a n +x),a n+1 =c a n +(c-1)x 用待定係數法得：(c-1)x＝d ∴ x= .又如：Ｓ n +a n =n+2,則Ｓ n-1 +a n-1 =n+1,二式相減得：Ｓ n －Ｓ n-1 +a n －a n-1 =１,即a n +a n －a n-1 =１,∴ 2 a n －a n-1 =１,a n = a n-1 + .如上提到b n = a n ＋ d = a n –1 練習：1.數列{ a n }滿足a n+1 =3a n +2,求a n 2.數列{ a n }滿足Ｓ n +a
高中數學教材中,有很多已知等差數列的首項、公比或公差(或者透過計算可以求出數列的首項,公比),來求數列的通項公式.但實際上有些數列並不是等差、等比數列,給出數列的首項和遞推公式,要求出數列的通項公式.而這些題目往往可以用構造法,根據遞推公式構造出一個新數列,從而間接地求出原數列的通項公式.對於不同的遞推公式,我們當然可以採用不同的方法構造不同的型別的新數列.下面給出幾種我們常見的構造新數列的方法：一．利用倒數關係構造數列.例如：中,若求a n +4,即＝４,｝是等差數列.可以透過等差數列的通項公式求出 ,然再求後數列{ a n }的通項.練習：1)數列{ a n }中,a n ≠0,且滿足 求a n 2)數列{ a n }中,求a n 通項公式.3)數列{ a n }中,求a n .二．構造形如 的數列.例：正數數列{ a n }中,若 設 練習：已知正數數列{ a n }中,,求數列{ a n }的通項公式.三．構造形如 的數列.例：正數數列{ a n }中,若a 1 =10,且求a n .由題意得：,即 .即 練習：（選自2002年高考上海卷） 數列{ a n }中,若a 1 =3,,n是正整數,求數列{ a n }的通項公式.四．構造形如 的數列.例：數列{ a n }中,若a 1 =6,a n+1 =2a n +1,求數列{ a n }的通項公式.a n+1 +1=2a n +2,即a n+1 +1=2（a n +1） 設b n = a n +1,則b n = 2 b n-1 則數列{ b n }是等比數列,公比是2,首項b １ = a １ +1＝7,,構造此種數列,往往它的遞推公式形如：.如：a n+1 ＝c a n +d,設可化成a n+1 +x=c(a n +x),a n+1 =c a n +(c-1)x 用待定係數法得：(c-1)x＝d ∴ x= .又如：Ｓ n +a n =n+2,則Ｓ n-1 +a n-1 =n+1,二式相減得：Ｓ n －Ｓ n-1 +a n －a n-1 =１,即a n +a n －a n-1 =１,∴ 2 a n －a n-1 =１,a n = a n-1 + .如上提到b n = a n ＋ d = a n –1 練習：1.數列{ a n }滿足a n+1 =3a n +2,求a n 2.數列{ a n }滿足Ｓ n +a