一般地，人們會談論一個符號或一個概念，問它有什麼幾何意義。但是，永遠不會問它有什麼代數意義。試問樓主，你所說的“代數意義”指的是什麼？把“代數意義”當成一個“能指”，做這件事情本身就是沒有意義的（因為你無法找到這個概念的“能指”所對應的“所指”）。至於前一個問題我來回答一下：我想你應該是打錯字了，是“導數”而不是“倒數”。

一元函式f的在定義域中一個元素x_1之處的導數的幾何意義就是函式f所對應的影象Graph（f）(它是一條曲線)在點（x_1，f(x_1)）∈Graph（f）處的切線的斜率。微分是一個無窮小量而不是數，一般情況下，它是沒有幾何意義的-----除非把它推廣為“函式的外微分形式”（exterior differential forms of a function）；推廣後的外微分是從定義域的切向量叢到實數集的切向量叢的一個逐纖維地（fiberwisely）為線性同態的對映。不過你可以把普通的微分理解為一個無窮序列，序列的每一個座標是一個有向線段。比如dx可以理解為在點x處（先把這個x固定）向右發出的一組有向線段，每個有向線段的起點為點x，終點是變化的，但這個變化是“有方向的”，也就是說作為有向線段的第二個座標的“模長”要比第一個座標的“模長”要小一半，第三個的模長又比第二個的小了一半，以此類推。這個無限序列的極限是一個零向量（也就是x自己指向自己的這個向量）。要注意這些有向線段可以被看成是向量，但它們都不是“自由向量”（高中教材：自由向量指的是起點可以被任意移動（平移）的向量），因為它們的起點都被固定死了，就是x.

至於在閉區間【a，b】上對一個函式求定積分，它的幾何意義如下：當函式圖象在座標軸x軸上方時，定積分作為一個實數，就等於曲線自己、x軸、直線x=a，x=b圍成的曲邊（因為頂邊是彎曲的）圖形的面積。如果函式圖象在x軸下方，定積分的值就等於曲邊圖形的面積的相反數。如果函式圖象一部分在x軸上方，一部分在下方，則用全部都在x軸上方的圖形的總面積減去在下方的所有圖形的總面積，這個數值就是定積分的值。

而f的不定積分呢，對於初學者來說，稍微有點難以理解，是求得一個函式g（如果存在的話），使得下面的條件被滿足：g的圖象在（x_0，g（x_0））處的切線斜率k_0作為一個實數，恰好等於函式f在x_0處的函式值。僅僅在一個x_0處滿足這個條件還不夠，x_0必須取遍定義域裡所有的元素才行。如果在每一個元素之處都滿足“斜率條件”的話，那麼我們就是g是f的一個原函式。顯然，f的原函式是不唯一的。找到了f的某個原函式後，給這個原函式加上任意一個常函式，這個和函式也是f的原函式。