可以將α與β分成三類進行證明。
首先設α的有理數集劃分為A|A"，β的有理數集劃分為B|B"。
1) α與β都是有理數時，題設結論顯然成立(根據有理數的稠密性公理)
2) α與β一為有理數，一為無理數時，2.1 不妨設β為有理數，則α為無理數。2.2 因為α＞β，所以有理數β在下組A內。2.3 假設α與β之間沒有有理數，則A與B內所包含的有理數相同，所以α=β，這與2.2矛盾，所以假設不成立，即α與β之間存在有理數(可以用r代表這個有理數)，所以有理數r與有理數β之間存在無數個有理數(根據有理數的稠密性公里)，所以無理數α與有理數β之間有無數個有理數，所以題設結論成立。
3) α與β都是無理數時，2.1 因為α＞β，所以有理數β在下組A內。2.2 假設α與β之間沒有有理數，則A與B內所包含的有理數相同，所以α=β，這與2.2矛盾，所以假設不成立，即α與β之間存在有理數(可以用r代表這個有理數) ，所以無理數α與有理數r之間有無數個有理數( 2)中已證明 )，所以無理數α與無理數β之間有無數有理數，所以題設結論成立。
綜上1) 2) 3) 得：題設結論成立。
這裡的關鍵，是你要將戴德金劃分和無理數的定義理解透徹(這樣實數的稠密性就很好理解了)。如果實數的稠密性你沒有理解，說明你對戴德金劃分和無理數的定義理解有偏差。
首先，戴德金劃分是對有理數集進行的。劃分後下組有最大有理數或上組有最小無理數時，那這個劃分等價於一個有理數(且是唯一的) 。劃分後下組無最大有理數，上組也無最小有理數時，那這個劃分等價於一個無理數(且也是唯一的)。
所以總結來說，一個有理數集劃分唯一的對應於一個有理數或一個無理數。上句話中唯一的含義是指不存在一個有理數集劃分同時對應兩個無理數，也不存在一個有理數集劃分同時對應一個有理數和一個無理數，也不存在一個有理數集劃分同時對應兩個有理數。
戴德金劃分及無理數的定義，是屬於人為規定的，你沒辦法用其他已有的公里或定理去證明，你必須把它當成一個現成的公理來看待。
這裡其實涉及到一個根本性問題，所有物理、化學、生物等學科的基本定律都是來源於試驗總結(實際試驗或思想試驗)，沒法證明，只能用後續的試驗和生產實踐不斷驗證它的正確性。而數學也是這麼回事，數學裡的好些理論根基，都是直接來源於生產實踐，或者是從生產實踐中的抽象推理得到的，這些理論根基就是公理，比如歐幾里得《幾何原本》裡的五大公設、五大公里。
可以將α與β分成三類進行證明。
首先設α的有理數集劃分為A|A"，β的有理數集劃分為B|B"。
1) α與β都是有理數時，題設結論顯然成立(根據有理數的稠密性公理)
2) α與β一為有理數，一為無理數時，2.1 不妨設β為有理數，則α為無理數。2.2 因為α＞β，所以有理數β在下組A內。2.3 假設α與β之間沒有有理數，則A與B內所包含的有理數相同，所以α=β，這與2.2矛盾，所以假設不成立，即α與β之間存在有理數(可以用r代表這個有理數)，所以有理數r與有理數β之間存在無數個有理數(根據有理數的稠密性公里)，所以無理數α與有理數β之間有無數個有理數，所以題設結論成立。
3) α與β都是無理數時，2.1 因為α＞β，所以有理數β在下組A內。2.2 假設α與β之間沒有有理數，則A與B內所包含的有理數相同，所以α=β，這與2.2矛盾，所以假設不成立，即α與β之間存在有理數(可以用r代表這個有理數) ，所以無理數α與有理數r之間有無數個有理數( 2)中已證明 )，所以無理數α與無理數β之間有無數有理數，所以題設結論成立。
綜上1) 2) 3) 得：題設結論成立。
這裡的關鍵，是你要將戴德金劃分和無理數的定義理解透徹(這樣實數的稠密性就很好理解了)。如果實數的稠密性你沒有理解，說明你對戴德金劃分和無理數的定義理解有偏差。
首先，戴德金劃分是對有理數集進行的。劃分後下組有最大有理數或上組有最小無理數時，那這個劃分等價於一個有理數(且是唯一的) 。劃分後下組無最大有理數，上組也無最小有理數時，那這個劃分等價於一個無理數(且也是唯一的)。
所以總結來說，一個有理數集劃分唯一的對應於一個有理數或一個無理數。上句話中唯一的含義是指不存在一個有理數集劃分同時對應兩個無理數，也不存在一個有理數集劃分同時對應一個有理數和一個無理數，也不存在一個有理數集劃分同時對應兩個有理數。
戴德金劃分及無理數的定義，是屬於人為規定的，你沒辦法用其他已有的公里或定理去證明，你必須把它當成一個現成的公理來看待。
這裡其實涉及到一個根本性問題，所有物理、化學、生物等學科的基本定律都是來源於試驗總結(實際試驗或思想試驗)，沒法證明，只能用後續的試驗和生產實踐不斷驗證它的正確性。而數學也是這麼回事，數學裡的好些理論根基，都是直接來源於生產實踐，或者是從生產實踐中的抽象推理得到的，這些理論根基就是公理，比如歐幾里得《幾何原本》裡的五大公設、五大公里。