一·直觀印象

“連續”是相對於“間斷”而言的，從幾何上看，連續函式的圖象是一條連綿不斷的曲線。比如下圖（1）中的函式就是連續的，而圖（2）中的函式在點x0處是間斷的。

當然，這只是粗略地說，我們是不會滿足於這種直觀的認識的。那麼究竟什麼樣的函式才叫連續函式呢？下面給出其精確定義。

所謂的在一點連續，即是指當x越接近x0時，f（x）就越接近f（x0），換言之就是函式在該點處的極限值等於這點的函式值。

連續函式是一類非常重要的函式，因為它具有許多良好的性質。感興趣的可以查閱相關資料，在此不作贅述。

值得說明的是，基本初等函式在其定義域內都是連續的。

這是高等數學裡的知識點，函式的連續性是一類函式的重要性質。從表面上理解就是函式影象是連續不間斷的，例如我們常見的一次函式、二次函式等都是連續的函式；當然表面的理解並不具有嚴謹性，今天我們來分析一下函式的連續性：

直觀的講就是當函式的自變數x發生很小的變化時，引起的函式值的變化也很小，則此時函式在這點處是連續的。它的嚴格數學定義如下

當然這個敘述可以換一種方式，可能大家更容易理解

有連續函式就有不連續函數了，不連續函式一般有一個或者幾個甚至無數個間斷點，例如我們最熟悉的反比例函式、正切函式，都有間斷點。

若函式f(x) 在 a 存在極限 b ,a 可能屬於函式 f(x) 的定義域 ，

也可能不屬於函式 f(x) 的定義域 ；

即使 a 屬於函式 f(x) 的定義域， f(a) 也不一定等於 b .

但是，當 f(a) = b 時, 這類函式就是連續函式.

設函式f(x) 在 U（a）有定義，若函式f(x) 在 a 存在極限，且極限就是 f(a) ，

則稱函式f(x) 在 a 連續，a 是函式f(x) 的連續點.

注： U（a）表示 a 的鄰域，U（a，δ）= （a-δ,a+δ）稱為 a 的δ領域 （δ﹥0）。

函式f(x)在 a 連續，不僅 a 屬於函式f(x) 的定義域，且有

因此函式f(x) 在 a 連續比函式f(x) 在 a 存在極限有更高的要求 .

用極限的 “ε—δ定義”，函式f(x)在 a 連續，即

綜上也就是說函式f(x)在 a 連續，就要滿足兩個條件：

① 函式f(x)在 a 存在極限 ；

② 函式f(x)在 a 的極限值就等於函式f(x)在 a 的函式值 ，

函式在一點的連續性：

函式f(x)在a點連續的三要素：

1 函式在點a的鄰域（a－δ，a＋δ）有定義；

2 函式在點a有極限，即左極限和右極限存在且相等；

3 函式在點a的極限等於a點的函式值。

以上三條均滿足，就說函式在a點是連續的。

函式在閉區間 [a, b] 的連續性：

1 函式的定義域包含[a, b]；

2 函式在 (a, b) 的每一點連續；

3 函式在點a的右極限存在且等於函式值；函式在點b的左極限存在且等於函式值。

閉區間上連續函式的性質：

(最值與介值定理)：閉區間 [a, b] 上的連續函式 f(x) 必取得最大值（M），最小值（m）。對任意的 M≤y≤m，至少存在一個 x∈，使得 y=f(x)。注意一定是閉區間。如果換成開區間，則最大值或最小值可能不存在，也可能存在。