根據以下步驟操作，把一個3階方陣，寫成若干初等矩陣的乘積：

1、給定三階方陣A：A={{a,b,c},{d,e,f},{p,q,r}}，如圖所示。

2、開始一步一步的進行行約簡：先把第一行的第一個數字變成1，也就是用初等矩陣u來左乘A：u = {{1/a, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};如圖所示。

3、讓第二行第一個數字變成0：把第三行乘以-d/p，加到第二行上；這個過程對應的初等矩陣是v=I+(-d/p)*e_(2,3)= {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} + {{0, 0, 0}, {0, 0, -d/p}, {0, 0, 0}};如圖所示。

4、再把第一行乘以-p，加到第三行上；對應的初等矩陣是：w=I+(-p)*e_(3,1)= {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} + {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {-p, 0, 0}};再把第三行第二個元素變成0：第二行乘以-(p (-b p + a q))/(a (e p - d q))，加到第三行上；對應的初等矩陣是——x=I+(-(p (-b p + a q))/(a (e p - d q)))*e_(3,2)={{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}+ {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, -(p (-b p + a q))/(a (e p - d q)), 0}};注意看，此時的x.(w.(v.(u.A)))是上三角矩陣。

5、把第三行的第三個元素變成1：也就是左乘矩陣初等矩陣y——y={{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, (a (e p - d q))/(p (-c e p + b f p + c d q - a f q - b d r + a e r))}}。把第二行第三個元素變成0：第三行乘以(-f+(d r)/p)，加到第二行上就可以了。再把第二行的第二個元素變1：左乘m，m = {{1, 0, 0}, {0, -(p/(-e p + d q)), 0}, {0, 0, 1}};把第一行第二個元素變成0，就是用第二行乘以(-b/a)，加到第一行；把第一行第三個元素變成0，就是用第三行乘以(-c/a)，加到第一行。最後得到的o.(n.(m.(z.(y.(x.(w.(v.(u.A))))))))就是單位矩陣。

6、這樣，o.(n.(m.(z.(y.(x.(w.(v.u)))))))就是A的逆矩陣。反過來，假設u的逆矩陣是u"，那麼u"也是初等矩陣，所以，A可以寫成：u".v".w".x".y".z".m".n".o"而初等矩陣的逆矩陣是很容易求出的。