階乘（factorial）是由法國數學家 Christian Kramp 於 1808 提出的，最早定義如下：

正整數 n 的階乘是所有小於及等於 n 的正整數的積，記為，

n! = n×(n-1)×...×2×1

由此可見，原始的 階乘 並不包括 0!，後來隨著 數學的發展，產生了 對於 0! 的需求，例如：

組合數定義： C_n^m = n! / [m!(n-m)!]，當 m = 0 或 n 時 C_n^0 = C_n^n = 1/0!；

泰勒公式：f(x) = f(a)/0! + f"(a)(x-a)/1! + f""(a)(x - a)²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n! + ...；

於是就需要在原來的定義中引入 0!。

（對原始階乘定義進行擴充套件）

從原來的定義中抽出兩個規則：

1! = 1

n! = n × (n-1)!

根據規則 2，有：

1! = 1 × (1-1)! = 1 × 0!

再根據規則 1，有：

1 = 1 × 0!

進而得到：

0! = 1

於是將上面的規則改為：

0! = 1

n! = n × (n-1)! (n > 0)

用這個規則 替代 原來的定義 作為新的 階乘定義。

（從另外一個角度證明）

定義 Γ 函式 （s > 0）：

很容易證明：

Γ(s + 1) = s Γ(s)

因此，有：

Γ(n + 1) = n!

可見 Γ 函式 是 階乘的 連續性 推廣，有：

Γ(1) = Γ(0 + 1) = 0!

而：

故，

0! = 1

（回到最初）

基於生活經驗，我們知道 從 n 個球中 選取 n 個球 只有一種選取方法：全選，因此 C_n^n = 1，而開始 組合數定義 得到 C_n^n = 1/0!，於是 1 = 1/0! 這推出：

0! = 1

對 f(x) = x 在 x = 1 附近進行冪級數展開：

f(x) = f(1)/0! + f"(1)(x-1)/1! + ... = 1/0! + x - 1

於是有：

x = 1/0! + x - 1

這同樣推出：

0! = 1

分明是可以根據定義證明的嘛！自然數a的階乘被定義為前一個自然數的階乘再稱以a。那麼，1的階乘等於零的階乘乘以1，但它等於1，於是，得到零的階乘等於1。

我可以給你一個理解的角度。階乘主要是因為排列組合而設立的運算方式，所以0的階乘你可以理解成有0個事物需要排列組合。也就是沒有事物需要排列組合，那這也是一種排列組合的方式，所以規定結果就是1。