一、傳說中畢達哥拉斯的證法（圖1）
左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為a、b，斜邊c為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是a+b)，所以可以列出等式a²+b²+4×1/2ab=c²+4×1/2ab，化簡得a²+b²=c²。
在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發現並證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。
二、趙爽弦圖的證法
第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為a、b，斜邊為c 的直角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等於外圍正方形的面積，所以可以列出等式c²+4×1/2ab=（a+b)²，化簡得a²+b²=c²。
第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為a、b，斜邊為 c的直角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為（b-a)的正方形“小洞”。
因為邊長為c的正方形面積等於4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式c²=(b-a)²+4×1/2ab，化簡得a²+b²=c²。
這種證明方法很簡明，很直觀，它表現了中國古代數學家趙爽高超的證題思想和對數學的鑽研精神，是我們中華民族的驕傲。
三、美國第20任總統茄菲爾德的證法
這個直角梯形是由2個直角邊分別為a、b，斜邊為c 的直角三角形和1個直角邊為c
的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等於梯形的面積，所以可以列出等式c²/2+2×1/2ab=(b+a)(a+b)/2，化簡得a²+b²=c²。
這種證明方法由於用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數學史上被傳為佳話。
勾股定理：勾股定理是一個基本的幾何定理，在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了詳細註釋，又給出了另外一個證明。直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長平方和等於斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼a²+b²=c²。勾股定理現發現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股數是組成a²+b²=c²的正整陣列(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股數。 目前初二學生教材的證明方法採用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。勾股定理是一個基本的幾何定理，它是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數形結合的紐帶之一。直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那麼a²+b²=c²。
一、傳說中畢達哥拉斯的證法（圖1）
左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為a、b，斜邊c為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是a+b)，所以可以列出等式a²+b²+4×1/2ab=c²+4×1/2ab，化簡得a²+b²=c²。
在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發現並證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。
二、趙爽弦圖的證法
第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為a、b，斜邊為c 的直角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等於外圍正方形的面積，所以可以列出等式c²+4×1/2ab=（a+b)²，化簡得a²+b²=c²。
第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為a、b，斜邊為 c的直角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為（b-a)的正方形“小洞”。
因為邊長為c的正方形面積等於4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式c²=(b-a)²+4×1/2ab，化簡得a²+b²=c²。
這種證明方法很簡明，很直觀，它表現了中國古代數學家趙爽高超的證題思想和對數學的鑽研精神，是我們中華民族的驕傲。
三、美國第20任總統茄菲爾德的證法
這個直角梯形是由2個直角邊分別為a、b，斜邊為c 的直角三角形和1個直角邊為c
的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等於梯形的面積，所以可以列出等式c²/2+2×1/2ab=(b+a)(a+b)/2，化簡得a²+b²=c²。
這種證明方法由於用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數學史上被傳為佳話。
勾股定理：勾股定理是一個基本的幾何定理，在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了詳細註釋，又給出了另外一個證明。直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長平方和等於斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼a²+b²=c²。勾股定理現發現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股數是組成a²+b²=c²的正整陣列(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股數。 目前初二學生教材的證明方法採用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。勾股定理是一個基本的幾何定理，它是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數形結合的紐帶之一。直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那麼a²+b²=c²。