這是“斐波那契數列”是義大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，卒於1240年。籍貫大概是比薩）。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。 斐波那契數列指的是這樣一個數列：0，1，1，2，3，5，8，13，21…… 這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比內公式”，是用無理數表示有理數的一個範例。）【√5表示根號5】 很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的【斐波那挈數列通項公式的推導】 斐波那契數列：0，1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N+)。那麼這句話可以寫成如下形式： F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 顯然這是一個線性遞推數列。通項公式的推導方法： 設常數r,s 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 則r+s=1, -rs=1 n≥3時，有 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)] F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)] …… F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)] 將以上n-2個式子相乘，得： F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)] ∵s=1-r，F(1)=F(2)=1 上式可化簡得： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 那麼： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3) …… = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1) （這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和） =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s) =(s^n - r^n)/(s-r) r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2 則F(n)=(√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}代入n=102，就有答案啦
這是“斐波那契數列”是義大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，卒於1240年。籍貫大概是比薩）。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。 斐波那契數列指的是這樣一個數列：0，1，1，2，3，5，8，13，21…… 這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比內公式”，是用無理數表示有理數的一個範例。）【√5表示根號5】 很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的【斐波那挈數列通項公式的推導】 斐波那契數列：0，1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N+)。那麼這句話可以寫成如下形式： F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 顯然這是一個線性遞推數列。通項公式的推導方法： 設常數r,s 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 則r+s=1, -rs=1 n≥3時，有 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)] F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)] …… F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)] 將以上n-2個式子相乘，得： F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)] ∵s=1-r，F(1)=F(2)=1 上式可化簡得： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 那麼： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3) …… = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1) （這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和） =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s) =(s^n - r^n)/(s-r) r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2 則F(n)=(√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}代入n=102，就有答案啦