將100個工人排成10乘以10的方陣，座標（x,y）其中x,y是0到9的整數。1.先按照相同x一組，10組（所有豎線）2.再按照相同y一組，10組（所有橫線）3.y=x+b上有10-b個，而y=x+b-10上有b個，這些剛好可以組成1組。b可以取0到9,10組（45度直線）4.y=2x+b，y=2x+b-10，y=2x+b-20，這些點一共有10個，b可以取0到9,10組……11.y=9x+b,y=9x+b-10……其實以上除了第一組，都是在找kx+b被10除餘y的點為一組。這樣是110組但是，中間會有不符合條件的。比如說：上面的4，當b取0時y=2x和y=2x-10分別過點（0,0）和（5,0），他們第11天就認識了。b取其他的值也會有這種情況，因此這十組都不行了。我想這是因為2能被10整除。同理斜率為5的時候認識的就更多了。這樣20組沒了。（心疼。。。）現在是90組。然後斜率為4的也是死在了（0,0）和（5,0），其實斜率是偶數的都會死在這裡。所以6,8也都不行了。為什麼會出現這樣的情況呢？因為只要斜率是偶數，xk和（x+5）k必然相差10的整數倍，因此y相同，y相同的工人在第二個10天就認識了。同理斜率不能是5的倍數（只有一個5）這樣最多隻剩60組了。首先剩下的後50組（斜率為0,1,3,7,9，）組內的x各不相同，不用擔心和第一組衝突。假設斜率為3的組與斜率為0的組衝突，即組記憶體在兩點（a,c）（b,c），則3a和3b被10除同餘，則3(a-b)是10的倍數。由於3和10互素，a-b是10的倍數。但a-b不超過9且不為0，矛盾，因此斜率為3的組與斜率為0的組不衝突。同理其他組也和斜率為3的組不衝突。這樣至少有30組（x相同組，斜率為0組，某一個斜率不為0組）首先，如果有兩點(x1,y1)(x2,y2)同屬於斜率為k的某個組，那麼y1-kx1和y2-kx2被十除同餘（餘數為分組時y軸截距b的取值）。假設點A(0,b),B（5，b+5k1）為斜率為k1的某一個組的兩個工人，他們也一定是斜率k2的某一個組的兩個工人。因為，考察y-k2x的結果分別為：b,b+5(k1-k2),由於k1k2同為奇數，這兩個結果顯然被十除同餘，因而在同一個斜率為k2的組裡。也就是說：這兩個點按照某一個非零斜率分組出勤，就不能再按照其他非零斜率分組出勤了。由於打字寫下角標不方便，事實上A點的橫座標可以是任意的，同組兩個橫座標相差5的點一定是四個組（斜率1,3,7,9）的公共點。所以，後面的40個組，斜率相同時彼此不衝突，斜率不同時彼此一定衝突！因此這40組裡有效的分組只能是10組，可以按任意一個固定的斜率分為10組。綜上，一共最多能分成30個彼此不衝突的組。就是能堅持30天。PS：此題完全不必列點陣取直線，只要討論整除和餘數即可，但是我覺得那樣不太形象。。。有點囉嗦，非數學專業，見諒……
將100個工人排成10乘以10的方陣，座標（x,y）其中x,y是0到9的整數。1.先按照相同x一組，10組（所有豎線）2.再按照相同y一組，10組（所有橫線）3.y=x+b上有10-b個，而y=x+b-10上有b個，這些剛好可以組成1組。b可以取0到9,10組（45度直線）4.y=2x+b，y=2x+b-10，y=2x+b-20，這些點一共有10個，b可以取0到9,10組……11.y=9x+b,y=9x+b-10……其實以上除了第一組，都是在找kx+b被10除餘y的點為一組。這樣是110組但是，中間會有不符合條件的。比如說：上面的4，當b取0時y=2x和y=2x-10分別過點（0,0）和（5,0），他們第11天就認識了。b取其他的值也會有這種情況，因此這十組都不行了。我想這是因為2能被10整除。同理斜率為5的時候認識的就更多了。這樣20組沒了。（心疼。。。）現在是90組。然後斜率為4的也是死在了（0,0）和（5,0），其實斜率是偶數的都會死在這裡。所以6,8也都不行了。為什麼會出現這樣的情況呢？因為只要斜率是偶數，xk和（x+5）k必然相差10的整數倍，因此y相同，y相同的工人在第二個10天就認識了。同理斜率不能是5的倍數（只有一個5）這樣最多隻剩60組了。首先剩下的後50組（斜率為0,1,3,7,9，）組內的x各不相同，不用擔心和第一組衝突。假設斜率為3的組與斜率為0的組衝突，即組記憶體在兩點（a,c）（b,c），則3a和3b被10除同餘，則3(a-b)是10的倍數。由於3和10互素，a-b是10的倍數。但a-b不超過9且不為0，矛盾，因此斜率為3的組與斜率為0的組不衝突。同理其他組也和斜率為3的組不衝突。這樣至少有30組（x相同組，斜率為0組，某一個斜率不為0組）首先，如果有兩點(x1,y1)(x2,y2)同屬於斜率為k的某個組，那麼y1-kx1和y2-kx2被十除同餘（餘數為分組時y軸截距b的取值）。假設點A(0,b),B（5，b+5k1）為斜率為k1的某一個組的兩個工人，他們也一定是斜率k2的某一個組的兩個工人。因為，考察y-k2x的結果分別為：b,b+5(k1-k2),由於k1k2同為奇數，這兩個結果顯然被十除同餘，因而在同一個斜率為k2的組裡。也就是說：這兩個點按照某一個非零斜率分組出勤，就不能再按照其他非零斜率分組出勤了。由於打字寫下角標不方便，事實上A點的橫座標可以是任意的，同組兩個橫座標相差5的點一定是四個組（斜率1,3,7,9）的公共點。所以，後面的40個組，斜率相同時彼此不衝突，斜率不同時彼此一定衝突！因此這40組裡有效的分組只能是10組，可以按任意一個固定的斜率分為10組。綜上，一共最多能分成30個彼此不衝突的組。就是能堅持30天。PS：此題完全不必列點陣取直線，只要討論整除和餘數即可，但是我覺得那樣不太形象。。。有點囉嗦，非數學專業，見諒……