橫力彎曲時，矩形截面樑上最大切應力是平均切應力的1.5倍。

根據材料力學知識分析如下：

圖示一矩形截面梁受任意橫向荷載作用。

推導公式的思路

（1）用橫截面m-m, n-n從梁中擷取dx一段。兩橫截面上均有剪力和彎矩。

（彎矩產生正應力，剪力產生切應力）

（正應力(s)分佈圖）

兩橫截面上的彎矩不等 。所以兩截面上到中性軸距離相等的點(用y表示)其正應力也不等。

（2）假想地從梁段上截出體積元素 mB1

（3）體積元素mB1在兩端面 mA1, nB1上兩個法向內力不等。

（4）在縱截面AB1上必有沿x方向的切向內力dF"S。此面上也就有切應力t"，在AB1面上的AA1線各點處有切應力t"。

根椐切應力互等定理, 在橫截面上橫線AA1上也應有切應力t。

對於狹長矩形截面, 由於梁的側面上無切應力, 故橫截面上側邊各點處的切應力必與側邊平行, 而在對稱彎曲情況下, 對稱軸y處的切應力必沿y方向, 且狹長矩形截面上切應力沿截面寬度的變化不可能大。

假設：

①橫截面上距中性軸等遠的各點處切應力大小相等。

②各點的切應力方向均與截面側邊平行。

分別求出mA1和nB1面上正應力的合力F*N1和F*N2;由靜力平衡方程, 求出dF"S;dF"S除以AB1面的面積得縱截面上的切應力;由此得到橫截面上距中性軸為任意y的點上的切應力。

公式推導

（1）求 F *N1和F *N2

假設m-m, n-n上的彎矩為M和M+dM。兩截面上距中性軸y1處的正應力為s1和s2 。

用A*記作mA1的面積

Sz*是面積A*對中性軸z的靜矩。

A*為距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積。

同理

由靜力平衡方程求dF"S

（3）求縱截面上的切應力t"

縱截面AB1上由t"dA所組成的是切向內力dFS。由假設(2)及切應力互等定理可知, 在縱截面上橫線AA1各點處的切應力t"的大小相等。至於在dx長度上, t"即使有變化, 其增量也是一階無窮小, 可略去不計, 從而認為t"在縱截面AB1上為一常量。

（4）由切應力互等定理得橫截面上距中性軸為任意y的點, 其切應力t的計算公式

Iz — 整個橫截面對中性軸的慣性矩

b— 矩型截面的寬度

Sz* — 過求切應力的點做與中性軸平行的直線, 該線任一邊的橫截面面積對中性軸的靜矩

t — 其方向與切力FS的方向一致

對於矩形截面梁，橫截面上的切應力t沿截面高度的變化情況由部分面積的靜矩Sz*與座標y之間的關係反映。

切應力沿截面高度按拋物線規律變化。

當y＝±h/2時, 即在橫截面上距中性軸最遠處, 切應力t＝0。

當y＝0時, 即在中性軸上各點處, 切應力達到最大值。

其中，平均切應力：

A＝bh是矩形截面的面積。

顯然，最大值是平均值的1.5倍。

證畢。