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  • 1 # 小吶不帥但很實在

    斜拋運動有斜向上拋、斜向下拋,以下為斜向上拋來說問題.

    對於斜向上拋運動,上升階段的軌跡與下落階段的軌跡是對稱的,所以只對上升階段來說求曲率半徑的方法.

      設丟擲時的初速大小是V0,它與水平方向成θ角,對於給定的斜拋運動,V0和θ是確定的常量.

    將初速V0正交分解在水平和豎直方向,水平分速度是 V0x=V0*cosθ ,V0x是常量.

    豎直分速度是 V0y=V0*sinθ ,V0y是常量.

    以下推導過程中,只用V0x和V0y表示.

    丟擲時間為 t 時,水平分速度是 Vx=V0x

    豎直分速度是 Vy=V0y-g*t  (上升階段,Vy>0)

    合速度大小是 V=根號(Vx^2+Vy^2)=根號[ V0x^2+(V0y-g*t)^2 ]

    合速度與水平方向夾角設為Ф ,則 tanФ=Vy / Vx=(V0y-g*t)/ V0x

    合速度方向就是該處軌跡的切線方向,與切線垂直的就是法線,

    顯然,法線與水平方向夾角是 A=90度-Ф 

    物體在空中只受重力作用,重力在此時分解在切向和法向,那麼沿法向的分量就是法向合力(“向心力”),得 F法=F向=mg*sin(90度-Ф)

    由“向心力”公式得 F法=F向=m*V^2 / R 

    上式中的 R 就是所要求的物體所在處的曲率半徑!

      mg*sin(90度-Ф)=m*V^2 / R

      mg*sin(90度-Ф)=m*[ V0x^2+(V0y-g*t)^2 ] / R

    所求的曲率半徑是 R=[ V0x^2+(V0y-g*t)^2 ] / [ g*sin(90度-Ф)]

    =[ V0x^2+(V0y-g*t)^2 ] / ( g*cosФ)

    因 1/cosФ=根號[1+(tanФ)^2]=根號{ 1+[(V0y-g*t)/ V0x]^2 }

      所以 R=[ V0x^2+(V0y-g*t)^2 ] *根號{ 1+[(V0y-g*t)/ V0x]^2 } / g

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