1.正交變換x=Py:指矩陣P是正交矩陣，即P的列(行)向量兩兩正交,且長度為1。
正交矩陣滿足：P^TP=PP^T=E,即P^（-1）=P^T.
2.正交變換的作用：
①正交變換可以化二次型為標準型。在二次型中，我們希望找到一個可逆矩陣C，經可逆變換x=Cy，使二次型f=x^TAx=（Cy）^TACy=y^T（C^TAC）y變成標準型，也就是要使C^TAC為對角陣。
由實對稱矩陣的對角化知，任給對稱陣A，總有正交矩陣P，使P^（-1）AP為對角陣,因為正交矩陣P^（-1）=P^T，所以P^TAP為對角陣。
這樣，如果我用的是正交變換x=Py，不就可以把二次型f=x^TAx化為f=y^T（P^TAP）y=y^T（P^（-1）AP）y=y^TΛy （其中，Λ為對角陣）了嗎。如此一來，就用正交變換實現了二次型的標準化。
這是正交變換的第一個作用。
②正交變換可以研究圖形的幾何性質。因為正交矩陣滿足：P^TP=PP^T=E，所以對於正交變換x=Py，有|x|=√（x^Tx）=√（y^TP^TPy）=√（y^Ty）=|y|.其中，|x|表示向量x的長度。
由此可見，經過正交變換後，|x|=|y|，即向量長度保持不變。
同理可證
由於正交變換保持向量長度、內積不變，因而保持兩向量夾角及正交性不變。因此施以正交變換後，圖形的幾何形狀不變，可以利用正交變換研究圖形的幾何性質。
這是正交變換的第二個作用。
完～打字好累～哦～
1.正交變換x=Py:指矩陣P是正交矩陣，即P的列(行)向量兩兩正交,且長度為1。
正交矩陣滿足：P^TP=PP^T=E,即P^（-1）=P^T.
2.正交變換的作用：
①正交變換可以化二次型為標準型。在二次型中，我們希望找到一個可逆矩陣C，經可逆變換x=Cy，使二次型f=x^TAx=（Cy）^TACy=y^T（C^TAC）y變成標準型，也就是要使C^TAC為對角陣。
由實對稱矩陣的對角化知，任給對稱陣A，總有正交矩陣P，使P^（-1）AP為對角陣,因為正交矩陣P^（-1）=P^T，所以P^TAP為對角陣。
這樣，如果我用的是正交變換x=Py，不就可以把二次型f=x^TAx化為f=y^T（P^TAP）y=y^T（P^（-1）AP）y=y^TΛy （其中，Λ為對角陣）了嗎。如此一來，就用正交變換實現了二次型的標準化。
這是正交變換的第一個作用。
②正交變換可以研究圖形的幾何性質。因為正交矩陣滿足：P^TP=PP^T=E，所以對於正交變換x=Py，有|x|=√（x^Tx）=√（y^TP^TPy）=√（y^Ty）=|y|.其中，|x|表示向量x的長度。
由此可見，經過正交變換後，|x|=|y|，即向量長度保持不變。
同理可證
由於正交變換保持向量長度、內積不變，因而保持兩向量夾角及正交性不變。因此施以正交變換後，圖形的幾何形狀不變，可以利用正交變換研究圖形的幾何性質。
這是正交變換的第二個作用。
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