矩陣A（m行n列）的行秩是行向量所能展開的空間的維度，即m個行向量中最大不線性相關的向量的個數，設為Rank(row);同樣A的列秩是n個列向量空間的維度，記為Rank(col).

有：對於任何A,其Rank(col)=Rank(row)=Rank(A),即矩陣的秩等於行秩也等於列秩。

於是一個矩陣的秩等於它的轉置的秩。

現在從一個角度理解下為什麼 Rank(col)=Rank(row)=Rank(A)：

從矩陣乘法的兩種理解說起（矩陣乘法的計算一共有四種方法，這裡用到其中兩種）：

C=AB可以看成A依次右乘以B的各列，即對於B的一列，拿它的元素作為係數對A的各列做線性組合，作為C中的一列。顯然，C中的各列都是A中各列的線性組合，C的列空間是A的列空間的子空間，即Rank(col) of C <= Rank(col) of A. 推廣一下，A不管右乘多少個矩陣，得到的矩陣的列空間一定是A的列空間的子空間。C=AB也可以看成B依次左乘以A的各行，即對於A的一行，拿它的元素作為係數對B的各行做線性組合，作為C中的一行。顯然，C中的各行都是B中各行的線性組合，C的行空間是B的行空間的子空間。

現在假設A（m行n列）的列空間的維度是r(r<=n)，則可以認為A=RB,(其中R為m行r列並且列空間的維度為r，B為r行n列）。由於A=RB，所以A的行空間的維度<=B的行空間的維度<=r，即A的行空間的維度<=列空間的維度。類似可以推出A的列空間的維度<=行空間的維度。這兩條要同時滿足，只能是行空間維度==列空間維度了。

另外，矩陣乘法AB的其它兩種定義，一個就是正常的求和公式；還有一個就是外積(A的各列乘以B的各行得到許多矩陣，然後相加)。

其實行秩和列秩為什麼神奇的相等,需要更深入地學習. 比如 [Advanced Calculus Revised Edition, Loomis, Lynn H., 1968](Advanced Calculus Revised, Lynn Harold Loomis, Shlomo Sternberg), p84 提到:

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PS: 今天看《線性代數的幾何意義》第5.7.1節，覺得裡面說的比我上面說的更直觀，我下面加工一下，複述如下：

首先有，對於矩陣 ,行秩和列秩都 : 以行秩為例，一共有才m行，所以行秩不可能大於m；而每個行向量才n個"座標"，秩又不可能大於n；所以，行秩。同理可以論證列秩 。雖然這一步還沒有說明行秩必須等於列秩，但是可以讓我們把矩陣變先變成一個方陣後再討論：假設 ,先把透過消滅多餘（即線性相關）的列向量變成方陣 以後再討論秩的問題。

這時候就是這本書裡面講的結論：“方陣裡面，有幾個行向量是多餘的，就有幾個列向量是多餘的”。思路大致是，假設行向量裡面有一個是多餘的(即是其它行向量的線性組合)，則可以把這個行向量去掉（或者變成0，一樣的效果），這樣就又不是一個方陣了。於是在透過上面的方法去掉一列，使它變成方陣。如此反覆，直到它變成一個方陣且行向量和列向量都獨立為止。顯然，行秩必然等於列秩。