要證明可交換性是很簡單的：
所以
泛函初步裡面好像是引入線性泛函來討論對偶空間的，也就是一個函式f，它作用線上性空間上，得到一個實數作為結果，同時它是線性的，保證 。這樣的函式叫做線性泛函。不難看出，對有限維空間來說，只需要確定f對基底向量作用之後的函式值，就可以確定整個f了，這樣如果把向量寫成座標，用列向量表示，就有：
注意行向量F雖然寫成f的函式值的形式，但其實是個常數向量。這個向量F就可以唯一表示f，它顯然也構成一個向量空間，它的線性組合就代表泛函的線性組合關係：
n維線性空間中所有可能的泛函也是n維線性空間，一般叫做對偶空間。實際上泛函也可以看成是一維的線性對映。
對偶空間如何跟線性對映聯絡起來呢？我們知道線性對映可以表示成矩陣的形式，如果考慮先進行線性對映、再進行泛函運算，則
複合的結果是源線性空間的一個泛函，表徵的向量是 。它相當於對對偶空間進行了一個線性對映，對應的矩陣就是原線性對映的矩陣的轉置，也叫做對偶變換。但是要注意的是，它是將目標空間（像空間）的對偶空間，映射回原空間（原像空間）的對偶空間，方向是反的。所以如果多個線性變換複合，它們的對偶變換是相應矩陣轉置、逆序之後再相乘，複合的順序也反過來，也就是矩陣運算的法則
如果這個線性對映是個可逆對映，則顯然對偶對映也是一個可逆對映，因為如果有
則按定義
則
（把 看成一個整體）
因此
因為f可以在對偶空間中任意選取，得到的g都可以透過這個規則重新映射回f，根據線性對映的逆的定義， 就是 的逆，也就有
本質上來說，一個線性對映可以有兩種不同的表述形式：向量空間的對映，與對偶空間（泛函空間）的對映。這兩種對映對應的矩陣互為轉置。對一個可逆對映來說，這說明原對映和逆對映相應的對偶對映也是互逆的，從而證明了轉置的逆就等於逆矩陣的轉置。
從更幾何一點的角度來說，有限維線性空間裡的泛函可以看作是一維的線性對映，所以它有n-1維的核空間，也就是這個空間裡的向量經過泛函作用之後得到了0。如果我們在這個線性空間上按照歐式幾何規定內積
泛函的特徵向量實際上就是這個核空間的正交補，或者用更幾何的說法，它的特徵向量就是這個n-1維超平面的法向量。注意同一個超平面的法向量可以有不同的方向（正負）以及長度，它們對應了線性相關的一組泛函。
考慮一個n維到n維的線性對映A，它將一個n-1維超平面對映到了另一個超平面，這個新的超平面也有對應的法向量，一般來說它並不是原來的法向量經過A對映得到的結果，因為一般的線性對映並不會保證內積的不變性。那麼新的法向量和原來的法向量究竟是什麼關係呢？
實質上就是要找到一個對映B，使得：
對於內積來說，有
因此顯然有
可見A與 是一對保證內積不變的線性對映，將它們分別作用於兩個向量，可以使得兩個向量的內積保持不變。
但是內積是對稱的，那麼如果我反過來，將 作用到n-1維平面上，那法向量的線性對映就是A了，這說明取轉置再取逆這個操作，重複執行兩次，能得到原始的線性對映！於是我們就得到
也就是
要證明可交換性是很簡單的：
所以
泛函初步裡面好像是引入線性泛函來討論對偶空間的，也就是一個函式f，它作用線上性空間上，得到一個實數作為結果，同時它是線性的，保證 。這樣的函式叫做線性泛函。不難看出，對有限維空間來說，只需要確定f對基底向量作用之後的函式值，就可以確定整個f了，這樣如果把向量寫成座標，用列向量表示，就有：
注意行向量F雖然寫成f的函式值的形式，但其實是個常數向量。這個向量F就可以唯一表示f，它顯然也構成一個向量空間，它的線性組合就代表泛函的線性組合關係：
n維線性空間中所有可能的泛函也是n維線性空間，一般叫做對偶空間。實際上泛函也可以看成是一維的線性對映。
對偶空間如何跟線性對映聯絡起來呢？我們知道線性對映可以表示成矩陣的形式，如果考慮先進行線性對映、再進行泛函運算，則
複合的結果是源線性空間的一個泛函，表徵的向量是 。它相當於對對偶空間進行了一個線性對映，對應的矩陣就是原線性對映的矩陣的轉置，也叫做對偶變換。但是要注意的是，它是將目標空間（像空間）的對偶空間，映射回原空間（原像空間）的對偶空間，方向是反的。所以如果多個線性變換複合，它們的對偶變換是相應矩陣轉置、逆序之後再相乘，複合的順序也反過來，也就是矩陣運算的法則
如果這個線性對映是個可逆對映，則顯然對偶對映也是一個可逆對映，因為如果有
則按定義
則
（把 看成一個整體）
因此
因為f可以在對偶空間中任意選取，得到的g都可以透過這個規則重新映射回f，根據線性對映的逆的定義， 就是 的逆，也就有
本質上來說，一個線性對映可以有兩種不同的表述形式：向量空間的對映，與對偶空間（泛函空間）的對映。這兩種對映對應的矩陣互為轉置。對一個可逆對映來說，這說明原對映和逆對映相應的對偶對映也是互逆的，從而證明了轉置的逆就等於逆矩陣的轉置。
從更幾何一點的角度來說，有限維線性空間裡的泛函可以看作是一維的線性對映，所以它有n-1維的核空間，也就是這個空間裡的向量經過泛函作用之後得到了0。如果我們在這個線性空間上按照歐式幾何規定內積
泛函的特徵向量實際上就是這個核空間的正交補，或者用更幾何的說法，它的特徵向量就是這個n-1維超平面的法向量。注意同一個超平面的法向量可以有不同的方向（正負）以及長度，它們對應了線性相關的一組泛函。
考慮一個n維到n維的線性對映A，它將一個n-1維超平面對映到了另一個超平面，這個新的超平面也有對應的法向量，一般來說它並不是原來的法向量經過A對映得到的結果，因為一般的線性對映並不會保證內積的不變性。那麼新的法向量和原來的法向量究竟是什麼關係呢？
實質上就是要找到一個對映B，使得：
對於內積來說，有
因此顯然有
可見A與 是一對保證內積不變的線性對映，將它們分別作用於兩個向量，可以使得兩個向量的內積保持不變。
但是內積是對稱的，那麼如果我反過來，將 作用到n-1維平面上，那法向量的線性對映就是A了，這說明取轉置再取逆這個操作，重複執行兩次，能得到原始的線性對映！於是我們就得到
也就是