設慣性系K’(x’,y’,z’,t’)沿慣性系K(x,y,z,t)的x軸正向以速度U=(u,0,0)勻速運動，自慣性系K到慣性系K’的正交線性變換為A=(aij)(i,j=1,2,3,4)，即 (x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A① 令R=(x,y,z)，R’=(x’,y’,z’)，A11=(aij)(i,j=1,2,3)，A12=(ai4)(i=1,2,3)，A21=(a4j)(j=1,2,3)，A22=(a44)，則由K到K’的線性變換可改寫為 R’=RA11+tA21，t’=RA12+ta44② 於是 dR’/dt’=((dR/dt)A11+A21)/((dR/dt)A12+a44) 令dR/dt=V，dR’/dt’=V’，則V、V’分別表示運動粒子在K與K’系中的速度，上式可改寫為 V’=(VA11+A21)/(VA12+a44)③ 滿足上述速度變換的初始條件有（1）洛侖茲變換與伽利略變換的公共條件：“V’=0，V=U”與“V=0，V’=–U”；（2）滿足伽利略變換的極限條件：|V|→∞時，|V’|→∞。 將條件（2）代入，並令V/|V|=V0得 |V’|=|(V0A11+A21/|V|)/(V0A12+a44/|V|)|=|V0A11/V0A12|=∞(|V|→∞) 上式成立，必有A12’=0=(0,0,0)[注1]，於是③式變為 V’=VA11/a44+A21/a44④ 再將條件（1）代入④式，得 UA11/a44+A21/a44=0，A21/a44=–U 由此得 A21=–UA11，A21=–Ua44 由於U=(u,0,0)，代入上式便得a12=a13=a42=a43=0，a41=–a11u，a44=a11，再由A12’=(0,0,0)得a14=a24=a34=0，代入④式，並令V=(vx,vy,vz)，V’=(vx’,vy’,vz’)，便得 (vx’,vy’,vz’)=(a11(vx–u)+a21vy+a31vz，a22vy+a32vz，a23vy+a33vz)/a11⑤ 由於對於vx’=0的點，vx=u，代入便得a21=a31=0；對於vy=0的點，vy’=0，代入便得a32=0；對於vz=0的點，vz’=0，代入便得a23=0，於是有 a12=a13=a14=a21=a23=a24=a31=a32=a34=a42=a43=0，a41=–a11u，a44=a11 將上述條件代入①式得 (x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A=(a11(x–ut)，a22y，a33z，a11t)⑥ 又當t=0時，K與K’兩慣性系重合，故當t=0時，有x’=x，y’=y，z’=z[注2]，代入⑥式便得a11=a22=a33=1，這樣就得到了伽利略變換為 (x’,y’,z’,t’)=(x–ut，y，z，t)證畢。 [注1]A12’表示A12的轉置。 [注2]顯然這一條件是相對論所不容許的，但其合理性是不容置疑的。如果在式⑥中直接代入洛侖茲變換證明中的假定a22=a33=1，或根據洛侖茲變換證明中使用的慣性系平權原理：自K’繫到K系的線性變換為A(-U)，且A(U)A(-U)=E，亦能得到a11=a22=a33=1，從而得到伽利略變換。
設慣性系K’(x’,y’,z’,t’)沿慣性系K(x,y,z,t)的x軸正向以速度U=(u,0,0)勻速運動，自慣性系K到慣性系K’的正交線性變換為A=(aij)(i,j=1,2,3,4)，即 (x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A① 令R=(x,y,z)，R’=(x’,y’,z’)，A11=(aij)(i,j=1,2,3)，A12=(ai4)(i=1,2,3)，A21=(a4j)(j=1,2,3)，A22=(a44)，則由K到K’的線性變換可改寫為 R’=RA11+tA21，t’=RA12+ta44② 於是 dR’/dt’=((dR/dt)A11+A21)/((dR/dt)A12+a44) 令dR/dt=V，dR’/dt’=V’，則V、V’分別表示運動粒子在K與K’系中的速度，上式可改寫為 V’=(VA11+A21)/(VA12+a44)③ 滿足上述速度變換的初始條件有（1）洛侖茲變換與伽利略變換的公共條件：“V’=0，V=U”與“V=0，V’=–U”；（2）滿足伽利略變換的極限條件：|V|→∞時，|V’|→∞。 將條件（2）代入，並令V/|V|=V0得 |V’|=|(V0A11+A21/|V|)/(V0A12+a44/|V|)|=|V0A11/V0A12|=∞(|V|→∞) 上式成立，必有A12’=0=(0,0,0)[注1]，於是③式變為 V’=VA11/a44+A21/a44④ 再將條件（1）代入④式，得 UA11/a44+A21/a44=0，A21/a44=–U 由此得 A21=–UA11，A21=–Ua44 由於U=(u,0,0)，代入上式便得a12=a13=a42=a43=0，a41=–a11u，a44=a11，再由A12’=(0,0,0)得a14=a24=a34=0，代入④式，並令V=(vx,vy,vz)，V’=(vx’,vy’,vz’)，便得 (vx’,vy’,vz’)=(a11(vx–u)+a21vy+a31vz，a22vy+a32vz，a23vy+a33vz)/a11⑤ 由於對於vx’=0的點，vx=u，代入便得a21=a31=0；對於vy=0的點，vy’=0，代入便得a32=0；對於vz=0的點，vz’=0，代入便得a23=0，於是有 a12=a13=a14=a21=a23=a24=a31=a32=a34=a42=a43=0，a41=–a11u，a44=a11 將上述條件代入①式得 (x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A=(a11(x–ut)，a22y，a33z，a11t)⑥ 又當t=0時，K與K’兩慣性系重合，故當t=0時，有x’=x，y’=y，z’=z[注2]，代入⑥式便得a11=a22=a33=1，這樣就得到了伽利略變換為 (x’,y’,z’,t’)=(x–ut，y，z，t)證畢。 [注1]A12’表示A12的轉置。 [注2]顯然這一條件是相對論所不容許的，但其合理性是不容置疑的。如果在式⑥中直接代入洛侖茲變換證明中的假定a22=a33=1，或根據洛侖茲變換證明中使用的慣性系平權原理：自K’繫到K系的線性變換為A(-U)，且A(U)A(-U)=E，亦能得到a11=a22=a33=1，從而得到伽利略變換。