集合論是邏輯有效性的基礎。語言符號的誠信（即一致性integrity）在這裡不得不重新審視。

自然數運算的“自由”、“平等”、“公正”和“平衡”受到了一次挑戰。。。☕️

現代集合論起源於康託。康託用對角線法證明了實數集與自然數集不等勢，從而在歷史上第一次提出“無窮集合也存在不同的大小”這種觀點，由此才產生出後來的公理集合論——公理集合論並非只有ZFC一種方案。現代集合論其實就是對無窮集合的研究。其實集合論、數理邏輯都是非常年輕的學科，“不可數集”這個概念大概也就一百多年的歷史。在柯西或者傅立葉的時代，大家腦子裡可沒什麼“不可數集”“連續統假設”這種概念，那個年代的數學其實和現在非常不一樣。

其實“數學需要有個基礎”這種觀念，大約也是19世紀末、20世紀才得到重視。17，18世紀的數學實際上不是獨立學科，那個時代的數學家往往又是力學家、物理學家，他們對學科之間沒做那麼明確的區分。到19世紀末，20世紀，後來又受到布林巴基學派的影響，大家開始整理數學自身的內容，開始出現結構主義，開始意識到有必要從邏輯的層面出發理清數學知識的脈絡。所以這個時代希爾伯特寫了 幾何學的基礎，這在17，18世紀看來估計是不可思議的事情——歐氏幾何誰不知道，有必要對這種東西進行嚴格的公理化麼？然後後來又有羅素等人的努力，慢慢把集合論公理建立起來，並且基於集合論強大的描述能力，大家開始把集合論作為整個數學體系的根基。——當然也像其他答主提到的那樣，集合論並不適用於描述所有數學，比如範疇論的某些部分，又比如Grothendieck universe這種東西，其實都是超越了ZFC所能描述的範圍的。

對數學基礎的歷史探討，本身和數理邏輯、數學哲學的發展是緊密相關的，而這些領域絕大部分進展都出現在20世紀。包括範疇論、型別論等更新的替代集合論作為數學基礎的方案，也都出現在20世紀。還是那句話，“數學基礎”本身就是個屬於20世紀以後的現代數學命題。

不過還是要說一句，也不是所有數學家都認同集合論作為數學基礎。姑且不論範疇論、型別論，這個世界上甚至還有ultrafinists，他們抵制任何形式的無窮，堅持使用只涉及有限的語言來描述數學。——而且只使用“有限”的語言，其實是能夠描述很大一部分數學的。。

當然，其實更多的數學家，他們根本不關心集合論 數學基礎這些“底層架構”，他們只關心自己做的那一部分“具體數學”；數學基礎你隨便找一個自洽的，能夠描述他們所關心的數學的就行。。就好比換個作業系統，同一個軟體還是同一個軟體。。

數學基礎，是對理性物件的提問:什麼是理性客體最安全最不變的基礎？康托爾十九世紀晚期提出集合論，逐漸建立其公理體系，ZF+C+CH或其它等價公理(如Neumann公理系，或其他人的公理系)，以此出發建立數系。自然數，實數等是我們最直接、最感安全的理性客體。但不幸，哥德爾、Cohen證明，除C外，CH也獨立於ZF+C，即我們不管說實數含全部無理數，還是說實數不含某類無理數，兩個相反命題都成立，都與ZF相容。這個結果似乎表明人類理性處於自然演化之中，不是完美的。當然，有人試圖修正ZF公理，希望我們最終能接納所有數系及衍生物。絕大多數工作的數學家，對此並不關心，例如拓樸學家，在拓樸學自然基礎上，放心地繼續工作。範疇論，模型論，證明論，遞迴數學和構造數學，都在抽象代數，數理邏輯，可計算性數學方面發揮作用。但至今，它們對構造數系的貢獻，卻很少。至於有限數學論，我認為它很安全，但它要拋棄大部份古典數學。

任何用有限去解決無限的問題都無法走出封閉與開放之間的悖論。集合論也是一樣的！任何概念都需要一個封閉起來的基本概念把自己嚴謹的圍起來……然後力圖向外無限制的推演開去，但是越是走遠，這種內和外的不對稱就會放大！有人會說基本線都是一對一的，是嗎？差遠了！粗大和粗糙還有疏密的空缺根本就是不可能的……反之亦然