分享數學史上我最喜歡的三則小故事，它們也蘊含了豐富的哲學道理。

而今，這些數學定理不但應用於數學、物理、化學、天文、地理、生物等基礎科學，還是資訊、交通、經濟乃至社會科學的眾多問題的解決思路之一。

無限旅館的房間

希爾伯特旅館有“無限”個房間，並且每個房間都已經入住了客人。

有一天來了一個新客人，旅館老闆說：“雖然我們已經客滿，但你還是能住進來的。我讓 1 號房間的客人搬到 2 號房間，2 號房間搬到 3 號房間⋯⋯n 號房間搬到 n+1 號房間，你就可以住進 1 號房間了。”

這個客人開開心心的拎包入住了。

又一天，來了個旅行團，有“無限”個客人。這可怎麼住呢？

老闆說：“不用擔心，大家仍然都能住進來。我讓 1 號房間的客人搬到 2 號房間，2 號搬到 4 號，3 號搬到 6 號⋯⋯n 號搬到 2n 號。你們都排好隊，依次住進奇數號的房間吧。”

這樣，已經住滿的旅館，又有無限個客人成功入住了。神奇吧？

這引起了很多人的思考，無窮+無窮，是否等於無窮呢？

希爾伯特悖論形象地說明了正整數集合和正偶數集合是等勢的。一切和自然數集合等勢的集合都稱為“可數集合”，否則就叫做“不可數集合”。

感興趣可以看網易公開課，英國公開大學公開課：60秒腦筋急轉彎——無限旅館。

龜“兔”賽跑的故事這個龜“兔”賽跑故事裡，“兔子”是跑得最快的希臘勇士阿基里斯，如果讓慢烏龜先領跑一小段距離，那麼結局就註定了——烏龜永遠也不會被阿基里斯追上。

為什麼呢？因為要想追到烏龜，阿基里斯必須先到達烏龜現在的位置；而等阿基里斯到了這個位置之後烏龜已經又前進了一段距離。如此下去，阿基里斯永遠追不上烏龜。

根據芝諾所言，阿喀琉斯“不可能在有限時間內跨越無限段的距離”。這個邏輯正如莊周所著《莊子》一書的《天下篇》中所載，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。

直到19世紀，數學家才證明了芝諾悖論是錯的。隨著阿喀琉斯與烏龜之間的距離越來越短，阿喀琉斯追趕得也越來越快。事實上，阿喀琉斯與烏龜之間的距離最終會變得無限短，以至於他瞬間就跑過了烏龜。因此，他完全能趕上烏龜，輕易超越它。

網易公開課也有本故事的介紹影片，英國公開大學公開課：60秒腦筋急轉彎——阿基里斯與烏龜賽跑。

七橋問題

1736年，年僅29歲的數學家尤拉來到普魯士的古城哥尼斯堡（哲學家康德的故鄉，今俄羅斯加里寧格勒）。普瑞格爾河正好從市中心流過，河中心有兩座小島，島和兩岸之間建築有七座古橋。

尤拉發現當地居民有一項消遣活動，就是試圖每座橋恰好走過一遍並回到原出發點，但從來沒人成功過。

尤拉證明了這種走法是不可能的。

假設每座橋都恰好走過一次，那麼對於A、B、C、D四個頂點中的每一個頂點，需要從某條邊進入，同時從另一條邊離開。進入和離開頂點的次數是相同的，即每個頂點有多少條進入的邊，就有多少條出去的邊，也就是說，每個頂點相連的邊是成對出現的，即每個頂點的相連邊的數量必須是偶數。

我七八歲時，姑父給我看了這樣一個圖形，考我怎樣能在三筆內不重複地畫完。如果能畫好，就獎勵我去北京旅遊。被這題糾結了好幾年，念初中時學了尤拉定理，才懂得其中的數理玄機。