二次函式是初中數學學習過程中的重難點內容，考查點比較多，考查範圍比較廣泛，常見的考查點有

1求二次函式的解析式 ，求解析式的方法有:待定係數法，頂點式，兩點式法

2求二次函式的影象及性質，給定二次函式畫出其影象並判定其係數及影象所具備的特點

3求二次函式的平移，二次函式對稱軸平移之後函式的解析式有何變化。

4與一次函式相結合求交點座標及動點求解，

5與一元二次函式相結合求與x軸的交點個數或最大值，最小值 ,

6與反比例函式相結合求交點座標或相應的圖形的面積，

7與圓相結合求交點切點或位置關係等等

8二次函式與一元二次方程相結合，二次函式與x軸的交點個數與一元二次方程的解相對應，當一元二次方程有兩個解時，二次函式與x軸有兩個交點，當一元二次方程有一個解時，二次函式與x軸有一個交點，一元二次方程沒有解時，二次函式與x軸沒有交點。

初中階段的二次函式，可以說是數學壓軸題中的“大Boss”，幾乎可以與初中階段所有知識點結合起來，但考慮到壓軸中的二次函式，必須具備一定的試題區分度，難度不可能太低，所以知識點結合後，複雜度直線上升，下面僅舉一例說明。

二次函式影象上的點存在性問題

知識點：二次函式基本性質、待定係數法求函式解析式、圖形的旋轉、拋物線與直線相交（二次函式與一次函式）、確定二次函式的條件。

題目

拋物線C1：y=2x²+mx+m過定點M，其頂點P座標為（p，q），將點M繞原點逆時針旋轉90°得到點N，拋物線C2：y=ax²+bx+c經過點M、N.

(1)填空:M（_____，_____）N（_____，_____）；

(2)用含p的代數式表示q；

(3)當拋物線C1與線段OM恰有兩個交點時，試確定m的取值範圍；

(4)若無論a、b、c取何值，拋物線C2都不經過點P，請求出點P的座標.

解析

(1)上手並不容易，需要將拋物線C1解析式變換成y=2x²+m(x+1)後觀察，既然是過定點M，則無論m取何值，解析式兩邊恆成立，於是令x=-1，使含m的項為零，從而得到y=2，於是可知當x=-1，y=2時，m無論取何值均成立，因此這個定點M為(-1，2)，由旋轉可得N(-2，-1)；

(2)直接利用二次函式頂點座標公式，p=-m/4，q=-m²/8+m，將前一個式子變換為m=-4p，代入第二個式子即可得到q=-2p²-4p；

(3)拋物線與線段有兩個交點，前提是與線段所在直線有兩個交點，直線OM解析式易求，y=-2x，聯立拋物線與直線方程：-2x=2x²+mx+m，整理成(2x+m)(x+1)=0，於是解出x1=-m/2，x2=-1，其中x2其實就是點M的橫座標，那麼另一個交點橫座標必須在-1和0之間，才能保證拋物線與線段有兩個交點，於是列出不等式-1<-m/2<0，解得0<m<2；

(4)本題難點，拋物線不經過點P，根據平面直角座標系內確定拋物線的條件，至少三個不同的點，且滿足①不在同一直線上；②沒有任意兩點橫座標相同。

題中已知M、N點座標，於是可得直線MN為y=3x+5，既然不經過點P，則說明點P在這條直線上，代入點P座標即可。

再對比點P橫座標與M、N橫座標，不經過點P，說明點P橫座標可能和M、N兩點中的一個相同，列方程即可求解。